「第５４６回　共学校の平面図形 ７」


前回は、近年に共学校の中学入試で出された「平面図形」のうち、作図力が重要な問題を見ました。


今回は「平面図形」の最後として、いろいろな問題について考えていこうと思います。


１問目は入試でもよく出される正六角形に関する問題です。




【問題】
図のように、１辺の長さが６ｃｍの正六角形を直線で２つに分けました。①の部分と②の部分の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。


(慶應義塾中等部　２０２１年　問題３－（３）問題文一部変更）










【考え方】
正六角形の分割問題は、頂点どうしを結ぶ直線で分割されているときは「均等分割」、辺上の点どうしを結ぶ直線で分割されているときは「正三角形の付け足し」を用いるのが、解き方の基本です。


本問は辺上の点どうしを結ぶ直線で分割されていますので、「正三角形の付け足し」を利用することにします。


次の図のように、正六角形の面積の1/6の正三角形を付け足します。



②に正三角形を付け足してできた図形は四角形（台形）ですから、「四角形は三角形に分割」の原則に従って2つに分け、それぞれが正六角形の面積のどれだけにあたるかを求めます。


　
　↓



上の図より、付け足した正三角形の面積を１とすると、

②の面積＝（３－１）＋２×１/６＝７/３

正六角形の面積＝１×６＝６

より、

①の面積＝６－７/３＝１１/３

とわかります。


①の面積：②の面積＝１１/３：７/３＝１１：７

答え　１１：７






上記で、水色三角形の面積を赤色斜線三角形の面積の１/９として求める、また、①の面積を求めて全体からそれを引いて②の面積を求めることもできます。


この問題の難しいところは、基本レベルの問題であれば正三角形を付け足すだけで答えを導けるのですが、付け足してできた図形が四角形になるため、さらに図形を分割することが必要な点です。



なお、「正六角形の均等分割」を利用する場合は、例えば右の図のように、正六角形の面積の２/３に当たる部分（赤色の長方形）を３：５：３：１に分けて求めることができます。











２問目は「内接円」の問題です。




【問題】
下の〈図１〉、〈図２〉、〈図３〉のように角Ａが直角で、３辺の長さがＡＢ＝５ｃｍ、ＢＣ＝１３ｃｍ、ＣＡ＝１２ｃｍである直角三角形ＡＢＣがあります。この直角三角形ＡＢＣの内側に円がぴったりとくっついています。また、円の中心をＯ、辺ＡＢ、辺ＡＣと円がぴったりとくっついている点をそれぞれＤ、Ｅとします。このとき、次の問いに答えなさい。



（１）〈図１〉において、直角三角形ＡＢＣにぴったりとくっついている円の半径は何ｃｍですか。また、このときの考え方を書きなさい。式でも言葉でもよいことにします。

（２）〈図２〉において、辺ＡＨと辺ＢＣは直角に交わっています。このとき、ＢＨ：ＨＣを最も簡単な整数の比で答えなさい。

（３）〈図３〉において、線分ＥＯと線分ＤＯを延長し、辺ＢＣとの交点をそれぞれＦ、Ｇとするとき、三角形ＯＦＧの面積は何ｃｍ2になりますか。

（法政大学第二中学校　２０２０年　問題５）








【考え方】
（１）
三角形の内側にぴったりとくっつく円のことを「内接円」といいます。


この内接円の半径は、三角形の頂点と円の中心を結んで分割し、「三角形の面積を利用する」方法と、「三角形の合同を利用する」方法の２つがあります。


ここでは、三角形の面積を利用する方法で解いてみます。



上の図で、３つの三角形ＡＢＯ、ＢＣＯ、ＣＡＯの高さは、いずれも円の半径と等しい長さですから、３つの三角形の面積比は底辺の長さの比と同じです。

△ＡＢＯの面積：△ＢＣＯの面積：△ＣＡＯの面積＝ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝５：１３：１２

△ＡＢＣの面積＝５ｃｍ×１２ｃｍ÷２＝３０ｃｍ２


ここで三角形ＡＢＯに着目すると、

５ｃｍ×（円の半径）÷２＝３０ｃｍ２×５/３０

ですから、円の半径は２ｃｍとわかります。

答え　２ｃｍ


（２）
直角三角形があるとき、その角に○、×を書き込むと、○＋×＝９０度を利用して、相似な三角形を見つけることができます。



上の図で、三角形ＡＢＨと三角形ＣＡＨは相似で、相似比が５：１２ですから、面積の比は

５×５：１２×１２＝２５：１４４

です。


ここで、三角形ＡＢＨの底辺をＢＨ、三角形ＣＡＨの底辺をＨＣとみると、高さがＡＨで同じになりますから、面積の比＝底辺の比＝２５：１４４とわかります。

答え　２５：１４４


（３）
ＯＦとＡＢ、ＯＧとＡＣはそれぞれ平行ですから、三角形ＡＢＣと三角形ＯＦＧは相似です。



（２）の図より

ＡＨ＝５ｃｍ×１２/１３＝６０/１３ｃｍ

（１）よりＯＩ＝２ｃｍですから、三角形ＡＢＣと三角形ＯＦＧの相似比は

ＡＨ：ＯＩ＝６０/１３ｃｍ：２ｃｍ＝３０：１３

となり、その面積比は９００：１６９です。


３０ｃｍ２×１６９/９００＝5 19/30ｃｍ２

答え　5 19/30ｃｍ２

本問は、（１）で求めた内接円の半径と（２）でわかった直角三角形の相似から、（３）が解けるように作られています。


それぞれ、中学入試の問題を解く上で大切な知識ですので、この問題を通して確認しておくとよいと思います。










今回は、２０２０年、２０２１年に共学校の中学入試で出された「平面図形」の最終回として、いろいろな問題を見ました。


平面図形は出題率の高い分野です。


この７回にわたってご紹介した問題などを利用して、基礎となる知識、解法、着目点などをチェックし、これから取り組む応用問題に備えることができればいいですね。