「第５５３回　共学校の規則性 ２」


近年に共学校の中学入試で出された「規則性」に関する問題を前回から見ています。


今回は、並べ方に特徴のある問題について考えてみようと思います。


１問目は「渦巻き状」に石を並べる問題です。




【問題】
黒の石と白の石がたくさんあります。右の図の矢印にしたがって、黒の石と白の石を交互に並べていきます。１２０個目の黒の石は、はじめに置いた黒の石から、左右上下どの方向に何個進んだ位置にありますか。以下の例にならって答えなさい。

（例）
９個目の黒の石の位置は左に２個、下に２個進んだところなので
（左２、下２）、
５個目の黒の石の位置は右に１個、上に１個進んだところなので
（右１、上１）
と答えます。

（西大和学園中学校　東京・東海・岡山会場　２０２１年　問題１－（５））








【考え方】
与えられた図から「渦巻き状」に石を並べると「正方形」になることからわかるように、本問の「渦巻き状」の問題は「正方形タイプ」の数表の仲間です。


このことは、次の図のように石を並べる順に番号を打っていくとわかります。





前回見ましたように、「正方形タイプ」の数表の問題は平方数を利用することが解き方の基本でした。


1２０番目の黒の石を置く順番は、初めから数えて

２×１２０－１＝２３９番目

ですから、２３９に近い平方数を探します。


１５×１５＝２２５

１６×１６＝２５６


このことから、１２０個目の黒の石の位置は次のようになることがわかります。



２２５個の石を並べたとき、正方形の１辺に石は１５個並びますから、表のア＝７、イ＝７、ウ＝８です。



よって、1２０番目の黒の石の位置は、右に８個、下に６個進んだところです。


答え　（右８、下６）






本問のような「渦巻き状」の問題では、自分の答えが正解と「１つ違い」になることがあります。


そのような場合は、上記のように「枠」の外側に番号を記入してみるとよいでしょう。









それでは、２問目です。




【問題】
右の図のように、三角形の中に数の書かれたメダルがならんでいる。メダルはある規則にしたがって数が書かれている。

（１）７段目のメダルに書かれている数の和を求めなさい。

（２）３５段目から７３段目には全部で何個のメダルがありますか。

（３）ある段のメダルに書かれている数の和は４０９６であるという。その１段下の段のうち一番右側と一番左側にあるメダルを１個ずつ除いた残りのメダルに書かれている数の和を求めなさい。

（慶應義塾湘南藤沢中等部　２０２０年　問題３）








【考え方】
「パスカルの三角形」と呼ばれる数の並びで、数は次のような規則に従って並んでいます。




（１）各段の和は、次のような規則になっています。



従って、７段目の和は、

２７－１＝２×２×２×２×２×２＝６４

です。


答え　６４


（２）
各段の個数は、段の番号と同じになっています。


３５段目は３５個、３６段目は３６個、…、７３段目は７３個のように、公差が１の等差数列ですから、和は

（３５個＋７３個）×３９段÷２＝２１０６個

です。


答え　２１０６個


（３）
（１）で調べた規則を利用します。ある段の和を２倍するとその１段下の和になっています。


従って両端のメダル（どちらも①です）を除いた和は、

４０９６×２－１×２＝８１９０

です。


答え　８１９０






本問は「パスカルの三角形」と呼ばれる数の並びに関する問題でしたが、その名前を知らなくても（1）～（3）に必要な規則を発見することは決して難しくないと思います。


今回は利用しませんでしたが、これらの他に「道順」の問題と関連した特徴もありますので、それも確認しておくとよいでしょう。











今回は「規則性」に関する問題の中から、並べ方に特徴がある問題をご紹介しました。


これらの2問のように少し難しく思える問題も、解くときには等差数列や数表など「規則性の基本」ともいえるものを用います。


基本問題は解けるけれど応用問題は…というときは、並んでいる数などに「番号」をつけ、その番号を等差数列や数表など「規則性の基本」と結びつけられないかを考えるようにしてみましょう。