第644回 女子中の入試問題 速さ 3
「第６４４回 女子中の入試問題 速さ ３」
ここまで、２０２３年度に女子中で出された「速さ」の問題の中から、「速さ」の一行問題を見てきました。
今回は「旅人算」を取り扱っていきます。
１問目は、基本レベルの問題です。
【問題】姉は中学校を、妹は小学校を、それぞれ同じ時刻に出発し、同時に家に着きました。中学校と小学校と家は、この順番で真っすぐな道に沿ってあり、中学校と小学校は１６０ｍはなれています。姉と妹の歩く速さはそれぞれ分速６０ｍと分速４０ｍです。中学校から家までの道のりは何ｍですか。
（東洋英和女学院中学部 ２０２３年 問題４）
【考え方】
速さ以外の条件は距離条件が「１６０m」、時間条件が「同時に出発し、同時に着く」でどちらも１つずつですから、線分図とダイヤグラムのうち得意な方に整理すればよいと思います。
ここでは、線分図を利用してみます。
図より、「妹の１６０m後ろにいた姉が追いついた」という旅人算の問題だとわかります。
１６０ｍ÷（６０ｍ/分－４０ｍ/分）＝８分 … 追いつくまでの時間
姉は８分歩いて家で妹に追いついたのですから、中学校から家までの距離は
６０ｍ/分×８分＝４８０ｍ
です。
答え ４８０ｍ
本問は、旅人算の基本が確認できる問題です。
条件がわかりやすい問題ですから、解答例のような線分図がなくても正解できるかもしれません。
なお、解答例の他に「速さと比の関係」を利用する解き方もあります。
③－②＝①＝１６０ｍ
１６０ｍ×３＝４８０ｍ
２問目は、大問形式の問題です。
【問題】姉妹が同時に家を出発して駅に向かって歩きました。姉が家から駅までの道のりの３/７の地点で引き返し、家へ向かって１２０ｍ歩いたところで妹と出会いました。２人が出会ったのは家から駅までの道のりの１/３の地点でした。ここで、姉妹それぞれの歩く速さは一定とします。
（１）家から駅までの道のりは何ｍですか。
（２）姉妹の歩く速さの比を、最も簡単な整数の比で求めなさい。
（大妻中学校 ２０２３年 問題５）
【考え方】
（１）
問題の条件が距離条件だけですから、線分図に整理します。
図より、１２０ｍが家から駅までの
３/７－１/３＝２/２１
にあたることがわかります。
１２０ｍ÷２/２１＝１２６０ｍ
答え １２６０ｍ
（２）
姉が
１２６０ｍ×３/７＋１２０ｍ＝６６０ｍ
歩く間に、妹は
１２６０ｍ×１/３＝４２０ｍ
歩いています。
答え １１：７
本問は、速さと比の関係が確認できる問題です。
距離条件だけがわかっているときは線分図に整理するという方針を立てると、正解しやすいでしょう。
なお、家から駅までの距離を割合の分母の最小公倍数㉑とし、１２０ｍが
㉑×３/７＝⑨
と
㉑×１/３＝⑦
の差の②にあたると考えて解くこともできます。
また、時間が共通なので、「道のりの比＝速さの比」を利用することもできます。
３問目は、グラフの問題です。
【問題】Ｐ地点からＱ地点までの道のりは３２㎞であり、この２地点間をＡさんは自転車で、Ｂさんは自動車で、それぞれ一定の速さで移動します。Ａさんは９時にＰ地点を出発して１１時にＱ地点に到着しました。Ｂさんは９時２０分にＱ地点を出発し、１０時にＰ地点に到着してすぐに折り返してＱ地点に戻り、すぐに折り返してＰ地点へと向かいます。次のグラフは２人の位置と時刻の関係を表してものです。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）ＡさんとＢさんが１回目に出会う時刻は何時何分ですか。
（２）ＡさんとＢさんが１回目に出会う時刻から３回目に出会う時刻までに２人が進んだ道のりの和は何㎞ですか。
（淑徳与野中学校 ２０２３年 問題４）
【考え方】
（１）
距離と時間がわかっていますので、２人の速さを求めることができます。
３２㎞÷（１１時－９時）＝１６㎞/時 … Ａさんの速さ
３２㎞÷（１０時－９時２０分）＝３２㎞÷２/３時間＝４８㎞/時 … Ｂさんの速さ
わかったことを線分図に整理します。
１６㎞/時×（９時２０分－９時）＝１６㎞/時×１/３時間＝１６/３㎞ … Ａさんの●～○
３２㎞－１６/３㎞＝８０/３㎞ … ２人の○～□の和
８０/３㎞÷（１６㎞/時＋４８㎞/時）＝５/１２時間 … ○～□の時間
９時２０分＋５/１２時間＝９時４５分
答え ９時４５分
【別解】 … 相似の利用
グラフの中の相似形を利用します。
６０分：１００分＝３：５
より、
③＋⑤＝１０時－９時２０分＝４０分
なので、
①＝５分
とわかります。
９時２０分＋５分×５＝９時４５分
（２）
（１）と同じようにして、３回目に出会う時刻を求めます。
１６㎞/時×（１０時４０分－９時）＝１６㎞/時×５/３時間＝８０/３㎞ … Ａさんの●～■
３２㎞－８０/３㎞＝１６/３㎞ … ２人の■～△の和
１６/３㎞÷（１６㎞/時＋４８㎞/時）＝１/１２時間
１０時４０分＋１/１２時間＝１０時４５分 … ２人が３回目に出会う時刻
ですから、２人が１回目に出会ってから３回目に出会うまでの時間は
１０時４５分－９時４５分＝１時間
です。
（１６㎞/時＋４８㎞/時）×１時間＝６４㎞
答え ６４㎞
【別解】
１回目に出会った９時４５分からの線分図に着目します。
２つの線分図を図のように移動させると、２人が１回目に出会ってから３回目に出会うまでに進んだ距離がちょうどＰＱ間の２倍になっていることがわかります。
３２㎞×２＝６４㎞
本問の（１）は、与えられている距離と時間から順に求めていく方法と、与えられているグラフの中にある相似形を利用する２つの解き方があります。
順に答えを求められるときは、相似が利用できるかも確認してみましょう。
（２）は解答例のように３回目に出会う時刻を求める解き方でもよいですし、線分図をかいているときは別解のように工夫することができればなおよいでしょう。
今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「旅人算」の問題をご紹介しました。
３問目のように、線分図などを使って条件整理をしていると簡単に解けるような問題もありますので、少し易しく感じるレベルの問題あたりから条件整理の練習をしておくとよいと思います。
