「第６５１回　女子中の入試問題　平面図形 ４」

これまで、２０２３年度に女子中で出された「平面図形」の問題について考えています。

今回は「辺の比と面積比」がテーマの問題を見ていきます。

１問目は基本レベルの問題です。

既習であれば、５年生でもチャレンジしてみましょう。

【問題】下の図において、ＡＢとＥＦとＣＤがすべて平行であるとき、x、yの値を求めなさい。

（晃華学園中学校　２０２３年　問題１－（５））

【考え方】

ＡＢとＣＤが平行なので、三角形ＡＢＥと三角形ＤＣＥは相似です。

ですから、

ＡＥ：ＤＥ＝ＡＢ：ＤＣ＝４㎝：８㎝＝１：２

です。

また、ＡＢとＥＦが平行なので、三角形ＡＢＤと三角形ＥＦＤは相似です。

ＡＥ：ＤＥ＝１：２

ですから、

ＢＦ：ＤＦ＝１：２

です。

４㎝：x㎝＝１：２　→　x＝８（㎝）

さらに、

ＡＤ：ＥＤ＝（１＋２）：２＝３：２

ですから、

ＡＢ：ＥＦ＝３：２

です。

４㎝：y㎝＝３：２　→　y＝８/３（㎝）

答え　x　８、　y　８/３（２ ２/３）

本問は、相似の基本が確認できる問題です。

正解できなかったときは、すぐに相似の基本問題で復習をしましょう。

２問目も大切な基本問題です。

【問題】正方形の折り紙を、下の図のように、辺とＡが重なるように折りました。ＤＦ：ＦＣを最も簡単な整数の比で表しなさい。

（洗足学園中学校　２０２３年　問題２－（２））

【考え方】

直角三角形の直角以外の２つの角に○、×をつけると、三角形の内角の和は１８０度より

○＋×＝９０度

です。

また、向かい合う角（対頂角）は等しいことより、３つの直角三角形の角は図のようになります。

よって、三角形ＡＧＨと三角形ＥＡＩと三角形ＥＦＤは相似で、その３辺の比は３：４：５です。

また、四角形ＨＧＦＩは四角形ＢＧＦＣを折り返したものですから、

ＨＧ＝ＢＧ＝８㎝

ＨＩ＝ＢＣ＝ＡＢ＝１８㎝

です。

ＡＩ＝１８㎝－６㎝＝１２㎝＝④　→　①＝３㎝

ＥＡ＝３㎝×５＝１５㎝

ＥＤ＝１８㎝－１５㎝＝３㎝＝３□　→　１□＝１㎝

ＤＦ＝１㎝×４＝４㎝

よって、

ＦＣ＝１８㎝－４㎝＝１４㎝

ですから、

ＤＦ：ＦＣ＝４㎝：１４㎝＝２：７

です。

答え　２：７

本問は、折り返し（合同）と相似の基本が確認できる問題です。

前問と同様に定番の重要問題ですから、もし、まちがえてしまったときは、すぐに類題で復習をしましょう。

３問目は、大問形式の問題です。

【問題】図の長方形ＡＢＣＤで、点Ｅ、Ｆは辺ＡＤを３等分した点であり、点Ｇ、Ｈ、Ｉは辺ＢＣを４等分した点です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ＧＪ：ＪＦを、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（２）ＧＪ：ＪＫ：ＫＦを、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（３）三角形ＧＪＨの面積と三角形ＥＫＦの面積の比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（田園調布学園中等部　２０２３年　問題２）

【考え方】

（１）

点Ｊをかくために必要な線だけの図にします。

三角形ＧＪＨと三角形ＦＪＡは相似で、相似比は

ＧＨ：ＦＡ＝６㎝：１６㎝＝３：８

です。

よって、ＧＪ：ＪＦも３：８です。

答え　３：８

（２）

相似な三角形ＧＫＩと三角形ＦＫＥに着目すると

ＧI：ＦＥ＝１２㎝：８㎝＝３：２

なので、ＧＫ：ＫＦも３：２です。

（１）で求めたＧＪ：ＪＦ＝３：８と、いま求めたＧＫ：ＫＦ＝３：２を比合わせします。

よって、

ＧＪ：ＪＫ：ＫＦ＝１５：（５５－１５－２２）：２２＝１５：１８：２２

です。

（３）

点Ｈと点Ｆ、点Ｅと点Ｇを直線で結びます。

三角形ＧＪＨの面積は三角形ＧＦＨの３/（３＋８）＝３/１１なので、

６㎝×１１㎝÷２×３/１１＝９㎠

です。

三角形ＥＫＦの面積は三角形ＥＧＦの２/（３＋２）＝２/５なので、

８㎝×１１㎝÷２×２/５＝１７.６㎠

です。

よって、三角形ＧＪＨの面積と三角形ＥＫＦの面積の比は

９㎠：１７.６㎠＝４５：８８

です。

答え　４５：８８

本問の（１）、（２）は、２組の相似な三角形と辺の比の基本が確認できる、これも大切な問題です。

少し難しい（３）については、解答例の他に、角ＪＧＨと角ＫＦＥが等しいことに着目して（２）の結果を利用する解き方もあります。

次が、今回の最後の問題です。

【問題】下の図のような平行四辺形ＡＢＣＤがあります。辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤを３等分、辺ＡＤを５等分する点をとります。平行四辺形ＡＢＣＤの面積が４５０㎠のとき、斜線部分の面積は何㎠ですか。

（淑徳与野中学校　２０２３年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

斜線部分は面積公式のない図形ですから、「分ける」または「全体から引く」が解き方の基本です。

ここでは、斜線部分以外の図形が三角形なので、平行四辺形から４つの三角形を引いていくことにします。

はじめに、頂点Ａを含む三角形に着目します。

三角形ＡＥＦと三角形ＡＢＤは角Ａが共通ですから、面積比は角Ａをはさむ２辺の積の比と同じです。

（三角形ＡＥＦの面積）：（三角形ＡＢＤの面積）

＝（ＡＥ×ＡＦ）：（ＡＢ×ＡＤ）

＝（２×１）：（３×５）

＝２：１５

（４５０㎠÷２）×２/１５＝３０㎠　…　三角形ＡＥＦの面積

残りの３つの三角形についても同様にして面積を求めます。

（４５０㎠÷２）×（１×２）/（３×３）＝５０㎠　…　頂点Ｂを含む三角形の面積

（４５０㎠÷２）×（１×２）/（３×３）＝５０㎠　…　頂点Ｃを含む三角形の面積

（４５０㎠÷２）×（１×２）/（３×５）＝３０㎠　…　頂点Ｄを含む三角形の面積

４５０㎠－（３０㎠×２＋５０㎠×２）＝２９０㎠

答え　２９０㎠

本問は、１つの角が共通な三角形の面積比について確認できる問題です。

さらに、平行四辺形を対角線で２つに分けて三角形を作るという点も重要です。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「辺の比と面積比」がテーマの問題から、基本であり、しかも重要な４つの問題をご紹介しました。

この単元を習い終えている場合、これらの重要な問題の中で解けない問題があったときは、できるだけ早急に類題で確認をしておきましょう。