「第６７２回　共学中の入試問題　比と割合 ４」

これまで、近年の共学中の入試問題で出された「比と割合」の問題について考えています。

前回は「食塩水の濃さ」の基本問題を見ました。

今回は、「食塩水の濃さ」の応用レベルの問題を中心に取り扱っていきます。

１問目は、２通りの混ぜ方をする問題です。

【問題】５％の食塩水と９％の食塩水を３：５の割合で混ぜて、新しい食塩水１０００ｇを作ろうとしました。ところが、あやまって９％の食塩水を（　）ｇこぼしてしまったため、できあがった食塩水の濃度は６％になりました。（　）をうめなさい。

（青山学院横浜英和中学校　２０２４年　問題１－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

同じ濃さの食塩水を２通りの混ぜる問題ですから、２つの天びん図（ダブル天びん）で整理することができます。

「予定」の天びん図より、５％の食塩水を

１０００ｇ×３/８＝３７５ｇ

と９％の食塩水を

１０００ｇ×５/８＝６２５ｇ

混ぜる予定であったことがわかります。

また、「実際」の天びん図より、５％の食塩水と９％の食塩水を３：１の割合で混ぜたこともわかります。

５％の食塩水はこぼしていませんから、実際は９％の食塩水を

３７５ｇ×１/３＝１２５ｇ

混ぜています。

ですから、こぼした食塩水は

６２５ｇ－１２５ｇ＝５００ｇ

です。

答え　５００ｇ

本問は、天びん図の使い方が確認できる問題です。

解答例では２つの天びん図を用いましたが、次のような面積図に整理することもできます。

２問目は、食塩水のはじめの濃さがわからない問題です。

【問題】濃度のわからない５００ｇの食塩水があります。はじめに、この食塩水から１００ｇを取り出し、代わりに１００ｇの水を加えてよく混ぜました。次に、再び１００ｇを取り出し、代わりに１００ｇの水を加えてよく混ぜたところ、濃度が９.６％になりました、このとき、もとの食塩水の濃度は何％か求めなさい。

（東邦大学付属東邦中学校　２０２４年　問題２－（３））

【考え方】

条件を整理します。

取り出す食塩水と加える水の重さが同じですから、水を加えた後の食塩水の重さが５００ｇとなることに注意します。

５００ｇ×０.０９６＝４８ｇ　…　最後の食塩水に含まれる食塩の重さ（＝▲ｇ）

４８ｇ÷４００ｇ×１００＝１２％　…　２回目に食塩水を取り出した後に残る食塩水の濃さ（＝■％）

５００ｇ×０.１２＝６０ｇ　…　△ｇ（＝●ｇ）

６０ｇ÷４００ｇ×１００＝１５％　…　１回目に食塩水を取り出した後に残る食塩水の濃さ（＝□％）

答え　１５％

本問は、流れ図の使い方が確認できる問題です。

食塩水を取り出しても濃さが変わらないことがポイントになっています。

なお、食塩水を取り出す前の食塩の重さと取り出した後に残る食塩の重さの比が

５００ｇ：４００ｇ＝５：４

となることに着目すると、次のように考えることもできます。

□％×４/５×４/５＝９.６％

□％＝９.６％×５/４×５/４＝１５％

３問目は、「やりとり」の問題です。

【問題】Ａの容器には８％の食塩水が２００ｇ、Ｂの容器には１２％の食塩水が入っています。Ａの半分の量をＢに入れ、よくかき混ぜてからその半分をＡに戻したところ、Ａの食塩水は１０％になりました。Ｂの容器に最初に入っていた食塩水は何ｇですか。

（青山学院中等部　２０２３年　問題７　問題文一部変更）

【考え方】

やりとりの様子を流れ図に整理します。

２００ｇ×０.０８＝１６ｇ　…　容器Ａのはじめの食塩の重さ

２００ｇ÷２＝１００ｇ　…　容器Ａから容器Ｂに移す食塩水の重さ＝容器Ａに残る食塩水の重さ

１６ｇ÷２＝８ｇ　…　移す食塩水に含まれる食塩の重さ＝容器Ａに残る食塩の重さ

整理しましたが、条件が不足しているため、このままでは食塩水の３公式も天びん図（面積図）も利用できません。

そこで、はじめに容器Ｂに入っていた食塩水の重さを１００□と仮定して、流れ図の空欄をうめていきます。

１００□×０.１２＝１２□　…　容器Ｂのはじめの食塩の重さ

操作を終えたときの容器Ａの食塩水の濃さが１０％なので

（５０□＋１５０ｇ）×０.１＝６□＋１２ｇ

５□＋１５ｇ＝６□＋１２ｇ

１□＝３ｇ

とわかります。

よって、容器Ｂにはじめに入っていた食塩水の重さは

３ｇ×１００＝３００ｇ

です。

答え　３００ｇ

本問は、流れ図の読み取り方が確認できる問題です。

混ぜる部分や分ける部分に着目しても解き進められないことから、容器Ｂに入っていたはじめの食塩水の重さを仮定しようと考えられることが大切なポイントです。

なお、本問は「食塩水を加えても混じり合わなければ…」と考える解き方もあります。

図の点線で囲まれた部分は、８％の食塩水１５０ｇと１２％の食塩水□ｇを混ぜると１０％の食塩水になることを表しています。

図より、□＝１５０ｇとなりますから容器Ｂにはじめに入っていた食塩水の重さは

□ｇ×２＝１５０ｇ×２＝３００ｇ

とわかります。

今回は、２０２３年度と２０２４年度に共学中の入試で出された「食塩水の濃さ」の応用レベルの問題を中心にご紹介しました。

１問目は前回ご紹介した解法のおさらいともいえますので、もし、正解できなかったときは基本の解法の復習が必要です。

２問目は流れ図の応用問題、３問目はやりとりの応用問題です。

工夫のしかたも含め、解き方を確認しましょう。