第162回　2014年度入試間近　難関中研究　～4～



「東大寺学園中学校過去問集26年春受験用(実物に近いリアルな紙面のプリント形式過去問4年分) (奈良県中学校過去入試問題集)」教英出版




冬期講習会、真っ只中！
受験生は毎日の1分1秒を大切に過ごしていることでしょう。


この冬休みで何を強化するのかは受験生によって様々ですが、
必ず目標を達成しましょうね！


さて前回は冬休みに強化したい単元のひとつとして、
「平面図形」（正六角形）の1問をご紹介しました。


その際に、
「最近は正八角形や八角形も出題されます」
と書きましたので、
今回は正八角形の問題をみておきます。


受験生がよく練習する八角形の代表的な問題といえば、



でしょう。
（斜線部分の面積を求める問題です）


また、新しいところでは昨年度の灘中（1日目-９番）で



という問題が出題されました。
（正方形の各辺の三等分点を結び、斜線部分の面積を求める問題です）


いずれの問題も「初見」ではかなり難しい問題に感じたのだろうなと思います。


上の問題は高さの等しい三角形の面積比、
下の問題は相似比と隣辺比を利用して解くことができます。


そういえば、前回の正六角形問題も均等分割から相似比を求めて解きました。


正六角形や八角形も問題を解く場合、

1.　均等分割の利用
2.　比の利用

がポイントになっているのです。



（正八角形の均等分割）


愛知県の難関中、東海中学校の2008年度の入試問題では、
次のような出題がありました。


〔９〕面積が30cm2の正八角形があります。斜線部の面積を求めなさい。








前出の2題が下の図のように合同な三角形の面積を求めて解くのと同じで、



本問も、




の三角形が問題を解く鍵です。


ということは




です。


この2つの図を見比べると、




という方針が見えてきます。


正多角形の問題を解くときに、もうひとつ頭に置いておきたいことは「平行な対角線」です。


「平行　→　相似や等積変形」のように、面積を求める手がかりになっています。






これらのことから、はじめの方針が正しいことがわかりましたので、

30cm2×2/8＝7.5cm2

が、答えです。




類似の解き方をする問題として、
2011年度に奈良県のトップ校、東大寺学園中学校で出題された問題があります。



〔３〕‐３
下の図のように、正八角形の2つの頂点A、Cを結んでできる直線の上に点Bをとり、
AB：BC＝1：2とします。(⑧の部分の面積)＋(⑨の部分の面積)＋(⑩の部分の面積)＝24cm2のとき、斜線部分の面積を求めなさい。（一部改題）












この問題はその前問からの誘導となっているのですが、
今回は正八角形の単問として考えてみます。


東海中学の問題と同様に、




を念頭に置いて考えてみましょう。


東海中学の問題と同じように、問題図に重ねてみると、




三角形（赤）の面積＝3　とすると
高さが等しいので、
三角形11の面積＝1
三角形8の面積＝2
です。


また、正八角形の面積＝3×8＝24　ですから、
三角形9と三角形10の面積の和＝12－（2＋1＋3）＝6
です。


ですから、
三角形8と三角形9と三角形10の面積の和＝8＝24cm2　なので、
斜線（黒）の三角形の面積＝三角形8の面積＝24cm2×2/8＝6cm2
が答えです。




灘中の八角形の問題のように、
相似比と隣辺比を利用する問題はやや難度が高いと思いますが、
正八角形の1/8の三角形を利用する問題は、
東海中学や東大寺学園中学のような問題演習を通して、
正六角形同様、正解できるようにしておけるといいですね。