速さ 2014-03
第202回 「小5の学習 速さ3」
前回は2014年度の首都圏入試問題から、
速さの問題を解法の組み合わせと難度によって分類し、
そのうちから2問をご紹介いたしました。
今回は2014年度の関西の中学入試に出題された速さの問題について考えます。
前回と同様に問題の難度を分類してみると
と、
2014年度は関西でも特殊な解法を必要とする、
上級問題の出題はありませんでした。
その中から、
「円形線分図」を利用する東大寺学園中、
文字数“たっぷり”の西大和学園中(男子)の2問を
ご紹介していきます。
2014年 東大寺学園中 入試問題より
大問1-(3)
ある池のまわりの道を、A君は自転車で、B君は徒歩で、それぞれ一定の速さで廻ります。A君は,午前9時にある地点Pを出発し、午前10時に池のまわりをちょうど5周回って地点Pを通過しました。B君は、午前9時4分に地点PをA君と反対向きに出発しました。2人が3回目に出会ったのは午前9時30分でした。2人が最初に出会ったのは午前9時何分何秒でしたか。
いわゆる「池タイプの旅人算」です。
池のような周回コースでの旅人算のポイントは、
1.分かれてから出会うまでの2人の道のりの和=池1周
2.追いつかれてから再び追いつかれるまでの2人の道のりの差=池1周
の2点です。
ですから、速さや向きが変わらない場合、
「定期的に出会う(または追いつかれる)=○分ごとに出会う」
ということになります。
このことは時計の針のことを思い浮かべるとイメージしやすいでしょう。
アナログ時計の長針は短針を12/11時間ごとに追い越します。
問題に戻ると、
Aは1周に60分÷5周=12分かかり、
9時4分には1/3周進んでいますから、
1回目の出会いまでの円形線分図は
のようになります。
これ以降は、分かれてから出会うまでの2人の道のりの和=池1周ですから、
②+③+③=26分
→ ①=3分15秒
→ ②=6分30秒
午前9時4分+6分30秒=午前9時10分30秒が初めて出会う時刻です。
1周以下の状態ですから通常の線分図でもOKですが、
円形線分図を利用することで、
9時4分から1回目の出会いまでの時間:1回目から2回目に出会うまでの時間=2:3
がよりイメージしやすくなっています。
ではもう1問です。
2014年 西大和学園中(男子) 入試問題より
大問1-(8)
図のようにA駅からB駅まで東西にまっすぐのびる100kmの線路があり、線路沿いにA駅とB駅をふくめて全部で20駅あります。普通列車はA駅を出発してからすべての駅に停車し、快速列車はA駅を出発してからA駅とB駅の間にある18駅のうち9駅とB駅に停車し、特急列車はA駅を出発してからB駅のみに停車します。普通列車は毎時50kmの速さで、快速列車は毎時60kmの速さで、特急列車は毎時80kmの速さで進むものとし、A駅とB駅の間にある駅での停車時間はすべて1分とします。このとき、A駅を出発してからB駅に停車するまでに、普通列車は( ① )分、、快速列車は( ② )分、特急列車は( ③ )分かかります。A駅では、普通列車は8分おきに、快速列車は15分おきにそれぞれ1台ずつ出発します。いま、A駅から普通列車と快速列車と特急列車が同時に出発して、4時間後再び、A駅から普通列車と快速列車と特急列車が同時に出発したとき、4時間後に出発したほうの特急列車はA駅を出発してからB駅に着くまでに( ④ )台の列車を追いこします。ただし、A駅から同時に出発した列車は追い越した台数に含まないものとし、列車の長さは考えないものとします。また、各駅では同時に3台以上の列車が止まったり、追いこしたりすることができます。①~④にあてはまる数を求めなさい。
566文字もある長文問題です。
が、実は①~③はサービス問題です。
「所要時間=走行時間+停車時間」ですから、
100km÷50km/時+1分停車×18駅=2時間18分=138分 が①の答え、
100km÷60km/時+1分停車×9駅=1時間49分=109分 が②の答え、
100km÷80km/時=1時間15分=75分 が③の答えです。
あとは④だけですが、
「列車の問題だからダイヤグラム」と思って
ダイヤグラムを正確に書こうとすると、
となり、とても書ききれません。
(駅間が均等とも書かれていません…)
④は、
「上り列車が出会う下り列車の本数」問題と
同じ考え方で解くとOKです。
上り列車が、
出発して初めに出会う下り列車から最後に出会う下り列車まで
「時間」を利用して解きますね?
4時間後に出発した特急列車の出発時刻を仮に10時0分とすると、
この特急列車が初めて追いこす普通列車は、
9時52分にA駅を出発した普通列車です。
また、
10時にA駅を出発した特急列車は11時15分にB駅に到着し、
10時にA駅を出発した普通列車は12時18分にB駅に到着します。
普通列車はA駅を8分おきに出発していますので、
B駅にも8分おきに到着します。
12時18分-8分×□=11時15分以降
にあてはまる□を求めると、□=7ですから、
特急列車が最後に追いこす普通列車はB駅に11時22分に到着する普通列車です。
この普通列車は
A駅を10時0分に出発する普通列車の7台前の普通列車です(□=7でした)から、
特急列車が追いこす普通列車は7台です。
快速列車についても同様に考えます。
10時0分+1時間49分=11時49分…A駅を出発した快速列車がB駅に到着する時刻
11時49分-15分×□=11時15分以降
→ □=2
→ 特急列車が追いこす快速列車は2台
ですから、7台+2台=9台が④の答えです。
ダイヤグラムをイメージできれば、
(138分-75分)÷8分=7台あまり7分
(109分-75分)÷15分=2台あまり4分
という解き方で、もちろんOKです。
この問題で用いたダイヤグラムは、
「出会う列車の本数」問題では、
「初めて」と「最後に」だけを正確に書く、
中間部分を省略したダイヤグラムです。
今回は、
「池タイプの旅人算」に使う円形線分図、
「出会う列車の本数」問題に使う一部を省略するダイヤグラムのように、
少し特殊な整理方法をご紹介しました。
これから線分図やダイヤグラムを学ぶお子さんの場合、
このような特殊な整理方法も入試問題には必要ですから、
まずは基本となる直線型の線分図や
時刻をすべて書き込んで完成させるダイヤグラムを
自由に使いこなせるように練習をしていけるといいですね。
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_01.jpg)
前回は2014年度の首都圏入試問題から、
速さの問題を解法の組み合わせと難度によって分類し、
そのうちから2問をご紹介いたしました。
今回は2014年度の関西の中学入試に出題された速さの問題について考えます。
前回と同様に問題の難度を分類してみると
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_02.jpg)
と、
2014年度は関西でも特殊な解法を必要とする、
上級問題の出題はありませんでした。
その中から、
「円形線分図」を利用する東大寺学園中、
文字数“たっぷり”の西大和学園中(男子)の2問を
ご紹介していきます。
2014年 東大寺学園中 入試問題より
大問1-(3)
ある池のまわりの道を、A君は自転車で、B君は徒歩で、それぞれ一定の速さで廻ります。A君は,午前9時にある地点Pを出発し、午前10時に池のまわりをちょうど5周回って地点Pを通過しました。B君は、午前9時4分に地点PをA君と反対向きに出発しました。2人が3回目に出会ったのは午前9時30分でした。2人が最初に出会ったのは午前9時何分何秒でしたか。
いわゆる「池タイプの旅人算」です。
池のような周回コースでの旅人算のポイントは、
1.分かれてから出会うまでの2人の道のりの和=池1周
2.追いつかれてから再び追いつかれるまでの2人の道のりの差=池1周
の2点です。
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_03.jpg)
ですから、速さや向きが変わらない場合、
「定期的に出会う(または追いつかれる)=○分ごとに出会う」
ということになります。
このことは時計の針のことを思い浮かべるとイメージしやすいでしょう。
アナログ時計の長針は短針を12/11時間ごとに追い越します。
問題に戻ると、
Aは1周に60分÷5周=12分かかり、
9時4分には1/3周進んでいますから、
1回目の出会いまでの円形線分図は
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_04.jpg)
のようになります。
これ以降は、分かれてから出会うまでの2人の道のりの和=池1周ですから、
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_05.jpg)
②+③+③=26分
→ ①=3分15秒
→ ②=6分30秒
午前9時4分+6分30秒=午前9時10分30秒が初めて出会う時刻です。
1周以下の状態ですから通常の線分図でもOKですが、
円形線分図を利用することで、
9時4分から1回目の出会いまでの時間:1回目から2回目に出会うまでの時間=2:3
がよりイメージしやすくなっています。
ではもう1問です。
2014年 西大和学園中(男子) 入試問題より
大問1-(8)
図のようにA駅からB駅まで東西にまっすぐのびる100kmの線路があり、線路沿いにA駅とB駅をふくめて全部で20駅あります。普通列車はA駅を出発してからすべての駅に停車し、快速列車はA駅を出発してからA駅とB駅の間にある18駅のうち9駅とB駅に停車し、特急列車はA駅を出発してからB駅のみに停車します。普通列車は毎時50kmの速さで、快速列車は毎時60kmの速さで、特急列車は毎時80kmの速さで進むものとし、A駅とB駅の間にある駅での停車時間はすべて1分とします。このとき、A駅を出発してからB駅に停車するまでに、普通列車は( ① )分、、快速列車は( ② )分、特急列車は( ③ )分かかります。A駅では、普通列車は8分おきに、快速列車は15分おきにそれぞれ1台ずつ出発します。いま、A駅から普通列車と快速列車と特急列車が同時に出発して、4時間後再び、A駅から普通列車と快速列車と特急列車が同時に出発したとき、4時間後に出発したほうの特急列車はA駅を出発してからB駅に着くまでに( ④ )台の列車を追いこします。ただし、A駅から同時に出発した列車は追い越した台数に含まないものとし、列車の長さは考えないものとします。また、各駅では同時に3台以上の列車が止まったり、追いこしたりすることができます。①~④にあてはまる数を求めなさい。
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_06.jpg)
566文字もある長文問題です。
が、実は①~③はサービス問題です。
「所要時間=走行時間+停車時間」ですから、
100km÷50km/時+1分停車×18駅=2時間18分=138分 が①の答え、
100km÷60km/時+1分停車×9駅=1時間49分=109分 が②の答え、
100km÷80km/時=1時間15分=75分 が③の答えです。
あとは④だけですが、
「列車の問題だからダイヤグラム」と思って
ダイヤグラムを正確に書こうとすると、
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_07.jpg)
となり、とても書ききれません。
(駅間が均等とも書かれていません…)
④は、
「上り列車が出会う下り列車の本数」問題と
同じ考え方で解くとOKです。
上り列車が、
出発して初めに出会う下り列車から最後に出会う下り列車まで
「時間」を利用して解きますね?
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/20141004_08.jpg)
4時間後に出発した特急列車の出発時刻を仮に10時0分とすると、
この特急列車が初めて追いこす普通列車は、
9時52分にA駅を出発した普通列車です。
また、
10時にA駅を出発した特急列車は11時15分にB駅に到着し、
10時にA駅を出発した普通列車は12時18分にB駅に到着します。
普通列車はA駅を8分おきに出発していますので、
B駅にも8分おきに到着します。
12時18分-8分×□=11時15分以降
にあてはまる□を求めると、□=7ですから、
特急列車が最後に追いこす普通列車はB駅に11時22分に到着する普通列車です。
この普通列車は
A駅を10時0分に出発する普通列車の7台前の普通列車です(□=7でした)から、
特急列車が追いこす普通列車は7台です。
快速列車についても同様に考えます。
10時0分+1時間49分=11時49分…A駅を出発した快速列車がB駅に到着する時刻
11時49分-15分×□=11時15分以降
→ □=2
→ 特急列車が追いこす快速列車は2台
ですから、7台+2台=9台が④の答えです。
ダイヤグラムをイメージできれば、
(138分-75分)÷8分=7台あまり7分
(109分-75分)÷15分=2台あまり4分
という解き方で、もちろんOKです。
この問題で用いたダイヤグラムは、
「出会う列車の本数」問題では、
「初めて」と「最後に」だけを正確に書く、
中間部分を省略したダイヤグラムです。
今回は、
「池タイプの旅人算」に使う円形線分図、
「出会う列車の本数」問題に使う一部を省略するダイヤグラムのように、
少し特殊な整理方法をご紹介しました。
これから線分図やダイヤグラムを学ぶお子さんの場合、
このような特殊な整理方法も入試問題には必要ですから、
まずは基本となる直線型の線分図や
時刻をすべて書き込んで完成させるダイヤグラムを
自由に使いこなせるように練習をしていけるといいですね。
![](/blog/maeda/wp-content/themes/e-juken-blog-wp/img/frog.gif)