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第386回 2018年度中学入試の数の性質 3

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数の性質の練習問題2018年04月07日18時00分

「第386回 2018年度中学入試の数の性質 3」


これまでの2回は、2018年度の中学入試で出された「数の性質」の問題をご紹介してきました。


今回は「数の性質」の3回目として、
フェリス女学院中学校とラ・サール中学校の
「けたばらし」に関する問題を見ていきます。


はじめはフェリス女学院中学校の問題です。




2018年度 フェリス女学院中学校 入試問題 算数より 

問題1-(5) 1から178までの各整数のけた数をすべて足し合わせると( ア )になります。2けたの整数Mから3けたの整数Nまでの各整数のけた数をすべて足し合わせると2018になるようなMとNの組は( イ )組あります。( ア )、( イ )にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。








【解答例】
(ア)
けた数で場合分けをします。

1けたの整数(1~9) けた数1×9個=9 
2けたの整数(10~99) けた数2×90個=180 
3けたの整数(100~178) けた数3×79個=237 

9+180+237=426 


(イ)
2けたの整数Mから99までのけた数の和=けた数2×□、
3けたの整数100からNまでのけた数の和=けた数3×■ ですから、
2×□+3×■=2018 となる(□、■)の組を調べます。


3×■=3の倍数、2018=3で割ると2余る数ですから、
2×□=3で割ると2余る数とわかります。


したがって、
□=1、4、7、10、...、88
(2けたの整数は90個なので、□は90以下の整数です)
の30個なので、答えは30組です。




「けたばらし」のポイントは「けた数ごとに場合分けをする」です。


また、2×□+3×■=2018 のような不定方程式は、
(□、■)の組を1組見つけてから規則性を利用する方法のほかに、
解答例の「3で割ったときの余り」のように
「倍数と余りの関係」を利用する方法があります。


最後の「30」の求め方は、
(88-1)÷3=29 29+1=30 のように「3ずつ増える」ことを利用する方法と、
1→3、4→6、7→9、...、88→90のように「3の倍数に対応」させて、
90÷3=30 のように求める方法があります。


(□、■)の組を見落としたり(イ)の答えが1個ずれたりするようでしたら、
別解を試してみてもよいと思います。







次はラ・サール中学校の問題です。




2018年度 ラ・サール中学校 入試問題 算数より 

問題5 1、30、275、1468のような同じ数字を2回以上用いないで表される整数を、1から小さい順に並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。

(1) 98は何番目ですか。

(2) 987は何番目ですか。

(3) 2018は何番目ですか。








【解答例】
(1) 
1けたの整数1~9の9個は、すべて同じ数字を2回以上用いないで表される整数です。
2けたの整数は、11、22、33、...、99の9個以外が
同じ数字を2回以上用いないで表される整数ですから、
90個-9個=81個 あります。 


1けたの整数9個+2けたの整数81個=90個 


この90番目の整数が98なので、答えは90番目です。


(2) 
3けたの整数をABCのように表すとすると、
A=1~9の9通り、
B=0~9のうちA以外の9通り、
C=0~9のうちA、B以外の8通りの場合があります。


ですから、同じ数字を2回以上用いないで表される3けたの整数は 
9通り×9通り×8通り=648個 あります。


1けたの整数9個+2けたの整数81個+3けたの整数648個=738個 


この738番目の整数が987なので、答えは738番目です。


(3) 
4桁の整数1987は、
1けたの整数9個+2けたの整数81個+3けたの整数648個
+1000台の4桁の整数 千の位 1通り×百の位 9通り×十の位 8通り×一の位 7通り
=1242番目 です。


2018までの2000台の4桁の整数は、
2013、2014、2015、2016、2017、2018の6個ですから、
2018は 1242+6=1248番目 です。




ラ・サール中学校の問題の場合も、
ポイントは「けた数ごとに場合分けをする」でした。


それに、各位にあてはまる数が何通りあるかを考える
「数作り」の解き方が加わっている問題です。






今回ご紹介しました、
フェリス女学院中学校の問題は「けたばらし」+「不定方程式」、
ラ・サール中学校の問題は「けたばらし」+「数作り」のように、
「数の性質」の入試問題を解くためには、
いくつかの解法を組み合わせることが必要となることが少なくありません。


1つ1つの解法はさほど難しくなくても、
それらを組み合わせるとなると、
「何と何を組み合わせるか」、
「複数の解法が組み合わさっても順序よく、正確な計算による処理ができるか」
といったように難度が上がっていきます。


大手進学塾の6年生のカリキュラムでは、
次に「数の性質」を学習する時期が夏期講習となっていることが多いと思いますが、
それまでの公開模試や実力テストには出題されると予想されます。


「数の性質」が少し不安だなと感じる場合は、
ゴールデンウィークなどの休みを利用して、
弱点をなくすことができるといいですね。

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数の性質の練習問題2018年04月07日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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