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第474回 中学入試で出題される「数の性質」 5

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中学入試の算数問題 / 数の性質の練習問題2019年12月14日18時00分

「第474回 中学入試で出題される「数の性質」 5」


これまで大手進学塾で学年のはじめに学ぶ「数の性質」について、「数字の個数」、「数の個数」、「N進法」、「倍数と約数」に関する問題を、近年の中学入試から選んで見てきました。


今回も前回に引き続き、「倍数と約数」がテーマの問題をご紹介します。






2019年度 学習院中等科 第1回 (四谷大塚 80%偏差値 56)より 

問題4 
1から9までの数字が書かれた9枚のカードがあります。この中から同時に2枚を選び、書かれている数の積を求めます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 積が3の倍数となるようなカードの選び方は何通りあるか求めなさい。

(2) 積が4の倍数となるようなカードの選び方は何通りあるか求めなさい。

(3) 積が7で割ると2余るようなカードの選び方は何通りあるか求めなさい。








【解答例】
(1)
場合分けをして考えます。


同時に取り出した2枚のカードの積が3の倍数になるのは、取り出した2枚のカードのうち、少なくとも1枚が3の倍数の書かれたカードのときです。


2枚のカードの組が「3」と「3以外の8枚」のとき 
1通り×8通り=8通り

2枚のカードの組が「6」と「6以外の8枚」のとき 
1通り×8通り=8通り

2枚のカードの組が「9」と「9以外の8枚」のとき 
1通り×8通り=8通り

8通り×3=24通り
※「3、6、9」からの1枚とそのカード以外を選ぶ、3通り×8通り=24通りでもOKです。

このうち、2枚のカードの組が「3と6」のとき、「3と9」のとき、「6と9」のときの3通りが重複していますから、

24通り-3通り=21通り

が答えです。

答え 21通り


(別解)
「余事象」を利用して解きます。


同時に取り出した2枚のカードの中に、1枚も3の倍数の書かれたカードがなければ、その積は3の倍数になりません。

9
C2=(9×8)÷(2×1)=36通り...同時に2枚のカードを取り出す全ての場合

6
C2=(6×5)÷(2×1)=15通り...3の倍数を含まない2枚のカードを同時に取り出す場合

36通り-15通り=21通り


(2)
(1)の別解のように「余事象」を利用した方が考えやすいでしょう。


同時に取り出した2枚のカードの積が4の倍数になるのは、4の倍数(4、8)を1枚以上含む場合と、2枚ともが4の倍数ではない2の倍数(2、6)の場合です。


7
C2=(7×6)÷(2×1)=21通り...2枚のカードに「4」も「8」も含まない2枚のカードを同時に取り出す場合

このうち、2枚のカードが「2と6」のときはその積が4の倍数になります。

21通り-1通り=20通り...2枚の積が4の倍数にならない場合


36通り-20通り=16通り

答え 
16通り


(3)
7で割ったときの余りは0から6です。


このうち、2つの余りの積を7で割って2余る場合を調べます。

20191208141510.jpg

(余りが1のカード)×(余りが2のカード)のとき
「1と2」、「1と9」、「8と2」、「8と9」...4通り

(余りが3のカード)×(余りが3のカード)のとき
なし...0通り

(余りが4のカード)×(余りが4のカード)のとき
なし...0通り

(余りが5のカード)×(余りが6のカード)のとき
「5と6」...1通り


4通り+1通り=5通り

答え 5通り







本問は「倍数」に関する問題ですが、「倍数」の考え方以外に、「数字の個数」や「数の個数」のときと同じように「場合の数」の考え方である「場合分け」や「余事象」も用いて解くことになりました。


このように、「数の性質」と「場合の数」は関連があります。


サピックスの場合、算数のカリキュラムは、5年生の冬期講習の第1回で「数に関する問題」、そのあと1月に「場合の数」、さらに、6年生の2月の第1回の授業で「数の性質」を取り扱うように作られています。


サピックスの5年生は、年末年始は塾がお休みとなりますし、学年が6年生にあがる1月末から2月初めにかけても何日かのお休みがありますので、冬期講習や1月の学習内容の復習が必要になったときはこれらの2つの期間を利用して6年生の学習に備えるとよいと思います。

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中学入試の算数問題 / 数の性質の練習問題2019年12月14日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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