「第６０２回　共学中の入試問題　数と計算 ５」

２０２２年度の共学中入試の問題の中から「数と計算」について考えています。

今回は大問形式の「余り処理」と「Ｎ進法」の問題を見ていきます。

１問目は「余り処理」の大問です。

【問題】

（１）２桁の整数１０、１１、１２、…、９８、９９について、７で割ったときの余りが１になる素数をすべて求めなさい。

（２）７で割ると２余る２桁の整数と７で割ると３余る２桁の整数がある。この２つの数の合計が５の倍数になるとき、２つの数の合計の中で２番目に小さい値を答えなさい。

（３）Ａを７で割った余りがＣで、Ｂを７で割ったときの余りがＤのとき、Ａ×Ｂを７で割った余りはＣ×Ｄを７で割った余りに等しいことがわかっています。１０×１０、１１×１１、１２×１２、…、９８×９８、９９×９９の整数について、７で割った余りが１になる数の個数を求めなさい。

（昭和学院秀英中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

問題文を式に表します。

□÷７＝■余り１

↓

□＝７×■＋１

■に整数を当てはめて調べていくと、

７×４＋１＝２９

７×６＋１＝４３

７×１０＋１＝７１

の３つが見つかります。

答え　２９、４３、７１

（２）

問題文を式に表します。

□＝■×７＋２

△＝▲×７＋３

□＋△

＝■×７＋２＋▲×７＋３

＝（■＋▲）×７＋５

＝５の倍数

この式から、■＋▲が５の倍数のときに適するとわかります。

□と△は２桁の整数ですから、■は２以上、▲は１以上の整数です。

■＋▲の値は小さい方から順に、５、１０、…ですから、２番目に小さい□＋△の値は

１０×７＋５＝７５

です。

答え　７５

（３）

問題文の前半は、次のような面積図で表せます。

例えば、１０×１０の場合を下のように面積図で表すと、

（１０×１０）を７で割った余り

＝（３×３）を７で割った余り

＝２となります。

問題は余りが１になる場合ですから、次のような図になります。

７×■＋１は２桁の整数なので、■＝２～１４の１３個があります。

７×■＋６も２桁の整数なので、■＝１～１３の１３個があります。

１３＋１３＝２６（個）

答え　２６個

本問は、余りどうしの和や積に関する知識が確認できる問題です。

（２）で用いた「分配のきまり」や（３）のように面積図で考えることはとても大切です。

２問目は「Ｎ進法」の問題です。

【問題】５つの枠にＡ、Ｂ、Ｃを書くか、または空らんとして、図のようにあるきまりにしたがって、整数を表すことにします。下の問いに答えなさい。

（１）１００を図で表すとどのようになりますか。解答らんにある５つの枠に表しなさい。

（２）右の図が表す整数はいくつですか。考え方と答えを書きなさい。

（３）５つの枠にＡ、Ｂ、Ｃを書いて表せる整数の中で最も大きい整数はいくつですか。

（淑徳中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

「１＝Ａ、２＝Ｂ、３＝Ｃ、０＝空らん」で表す４進法の問題です。

４進法の位は小さい方から順に、１の位、４の位、１６の位、６４の位、２５６の位、…のように４倍ずつ大きくなります。

従って、

１００＝２５６×０＋６４×１＋１６×２＋４×１＋１×０

より、

と表せます。

答え　

（２）

１６の位の数が１、４の位の数が２、１の位の数が３ですから、

１６×１＋４×２＋１×３＝２７

です。

答え　２７

（３）

すべての枠（位）にＣ（３）を書いたときの数です。

２５６×３＋６４×３＋１６×３＋４×３＋１×３＝１０２３

答え　１０２３

（別解）

もし、枠が６つあれば（３）より１大きい数は

のように表せます。

２５６×４＝１０２４

１０２４－１＝１０２３

本問は、「Ｎ進法」の考え方が確認できる問題です。

数を空らんとＡ、Ｂ、Ｃの４種類の数字で表すことから４進法の問題だとわかり、「その位は４倍ずつ大きくなる」が使えたかをチェックしてみましょう。

なお、（１）では次のような計算ができればなおよいでしょう。

では、３問目です。

【問題】２から２０２２までの整数のうち、０、２、４、６、８だけを使ってできるものを次のように小さい順に並べます。

２、４、６、８、２０、２２、２４、…、２０２２

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）小さい方から数えて２０番目の数は何ですか。

（２）全部で何個の数が並んでいますか。

（３）全部の数の和はいくつになりますか。

（中央大学附属横浜中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

１桁の整数は、２、４、６、８の４個です。

２０台の整数

２０、２２、２４、２６、２８の５個

４０台の整数

４０、４２、４４、４６、４８の５個

６０台の整数

６０、６２、６４、６６、６８の５個

ここまで全部で

４個＋５個＋５個＋５個＝１９個

あります。

従って、２０番目の数は８０です。

答え　８０

（別解）

０、２、４、６、８を０、１、２、３、４に置き換えると「５進法」として解くことができます。

１０進法の２０は

２０＝５×４＋１×０

なので、５進法の２０番目の数は「４０」です。

４を元の８に戻すと、問題の数の列の２０番目の数は８０とわかります。

答え　８０

（２）

１桁の整数

２、４、６、８の４通り → ４個

２桁の整数 □■

□＝２、４、６、８の４通り

■＝０、２、４、６、８の５通り

４×５＝２０（個）

３桁の整数 □■■

□＝２、４、６、８の４通り

■＝０、２、４、６、８の５通り

４×５×５＝１００（個）

４桁の整数

２００□

□＝０、２、４、８、８の５通り → ５個

２０２□

２０２０と２０２２の２個

従って、

４個＋２０個＋１００個＋５個＋２個＝１３１個

です。

答え　１３１個

（別解）

（１）と同様に２０２２の「２を１に置き換える」と、「５進法」の１０１１となります。

１２５×１＋２５×０＋５×１＋１×１＝１３１

５進法の１０１１は１３１番目の数より、並んでいる数は１３１個とわかります。

答え　１３１個

（３）

２を００２、４を００４のように表し、さらに０を０００として補うと、０以上８８８以下の整数は□□□（□＝０、２、４、６、８）として考えることができますので、

５×５×５＝１２５（個）

あることがわかります。

※（２）を利用して、１＋４＋２０＋１００＝１２５（個）としてもOKです。

０、２、４、６、８の５種類の数字は、それらの整数の百の位、十の位、一の位にそれぞれ

１２５個÷５種類＝２５個

使われますので、各位の数の和は

（０＋２＋４＋６＋８）×２５＝５００

です。

よって、０以上８８８以下の整数の和は、

５００×１００＋５００×１０＋５００×１＝５５５００

です。

５５５００＋２０００＋２００２＋２００４＋２００６＋２００８＋２０２０＋２０２２＝６９５６２

答え　６９５６２

本問の（１）、（２）は、５進法に置き換える工夫ができるかを確認することができます。

問題の条件のまま順に調べて解くことができるときは、Ｎ進法を利用する解き方もチェックしてみましょう。

今回は，２０２２年度の共学中の入試で出された大問形式の「余り処理」の問題と「Ｎ進法」の問題をご紹介しました。

次回は「数の規則性」がテーマの問題を見ていく予定です。