「第６０３回　共学中の入試問題　数と計算 ６」

ここまで、２０２２年度の共学中入試の中から「数と計算」の問題を見てきています。

今回は「数の規則性」について取り上げていきます。

それでは、１問目です。

【問題】１、２、３、４、５、１、２、３、４、５、１、…のように、１から５までの数がくり返し並んでいます。左から数えて１番目から１１１番目の数の和を求めなさい。

（広尾学園中学校　２０２２年　問題１－（１）②　問題文一部変更）

【考え方】

繰り返しの問題は、「カレンダー型の表に整理」が基本の解き方です。

５つの数を繰り返していること、求めるものが「和」であることから、次のように整理します。

１１１番目÷５個＝２２（群）余り１番目

より、１１１番目の数は第２３群の１番目の数の「１」です。

よって、和は

１５×２２＋１＝３３１

です。

答え　３３１

本問は、「繰り返しタイプの数列」の基本が確認できる問題です。

同じ５つの数を繰り返す問題ですから、正解が得られるのであれば式だけで解いてもＯＫです。

続けて、２問目を見ていきます。

【問題】次のように、ある規則にしたがって数が並んでいます。

このとき、５０番目までの数をすべて足すといくつになりますか。

（帝京大学中学校　２０２２年　問題２－（３））

【考え方】

分子に着目すると、

１ ／ １、２ ／ １、２、３ ／ １、２、３、４ ／ １、…

のように、１個、２個、３個、４個、…と区切ることができます。

また、分母に着目しても、

１ ／ ２、２ ／ ３、３、３ ／ ４、４、４、４ ／ ５、…

のよう、やはり１個、２個、３個、４個、…と区切ることができます。

５０番目までの数の和を求めますから、群ごとに「個数」と「和」について整理します。

５０＝１＋２＋…＋９＋５

より、５０番目の数は第１０群の５番目の数である「５／１０」と分かります。

２／２＋３／２＋４／２＋…＋１０／２＝２７　…　第１群から第９群までの和

１／１０＋２／１０＋…＋５／１０＝１.５　…　第１０群の１番目から５番目までの和

２７＋１.５＝２８.５

答え　２８.５

※ 和を１からはじまる公差０.５の等差数列として求めてもＯＫです。

本問は、「（個数が増えていく）増殖タイプの数列」の基本が確認できる問題です。

ここでは「横１列」のまま条件整理をしましたが、解きにくいときは「繰り返しタイプの数列」のときと同じように、カレンダー型の表を書いて解きましょう。

次の問題を見ていきましょう。

【問題】次の各数は、ある規則にしたがって数が並んでいます。

この規則にしたがって並べていくと、５０番目の数は何ですか。

（お茶の水女子大学附属中学校　２０２２年　問題２－（１））

【考え方】

前問と同じく「増殖タイプの数列」です。

５０＝１＋２＋…＋９＋５

より、５０番目の数は第１０群の５番目の数です。

各群の分子は１から始まる奇数、分母は群番号の２倍ですから、第１０群の５番目の数は「９／２０」と分かります。

答え　９／２０

本問も、増殖タイプの数列の基本が確認できる問題でした。

もう１問、「数の規則性」の一行問題を見ておきます。

【問題】ある規則にしたがって、分数が次のように並んでいます。１８番目の分数は何ですか。

（法政大学中学校　２０２２年　問題２－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

分子に着目すると、

１ ／ １、２ ／ １、２、３ ／ １、２、３、４ ／ １、…

のように、１個、２個、３個、４個、…と区切ることができます。

また、分母は

と、階差数列になっています。

１８＝１＋２＋…＋５＋３

より、１８番目の分数の分子は第６群の３番目なので「３」、分母は

１＋（１＋２＋３＋…＋１７）

＝１＋（１＋１７）×１７÷２

＝１５４

と求められます。

答え　３／１５４

本問は、分数の数列を分子と分母に分けて考えていくことを確認できる問題です。

分母はとなり合う２つの数の差が１ずつ増えていく数列ですが、番号をつけておくと１７番目の分母と１８番目の分母の差が１７となることが分かりやすくなります。

最後は、分数の数列がテーマの大問形式の問題です。

【問題】下のような分子と分母の和が２０２２となるような分数を考えます。分子が１から２０２１までの整数である分数をつくります。次の問いに答えなさい。

（１）これらの分数のうち、約分すると５になる分数の分母を答えなさい。

（２）これらの分数のうち、約分すると整数になる分数はいくつあるか求めなさい。

（３）これらの分数のうち、整数部分が１となる分数はいくつあるか求めなさい。

（広尾学園中学校　２０２２年　問題４）

【考え方】

（１）

約分すると５になる分数は、分子：分母＝⑤：①です。

⑤＋①＝⑥＝２０２２

①＝２０２２÷６＝３３７

答え　３３７

（２）

約分すると整数になる分数は、分子÷分母＝整数ですから、分子は分母の倍数です。

図より、

分母＋分子＝分母×（□＋１）＝２０２２

と表せますので、分母は２０２２の約数です。

２０２２＝２×３×３３７

より、２０２２の約数は１、２、３、６、３３７、６７４、１０１１、２０２２の８個と分かりますが、分母は１以上２０２１以下の整数なので、あてはまる分母は７個です。

よって、求める分数は７個です。

答え　７個

（３）

問題の条件より、求める分数は１以上２未満です。

（２）と同じように線分図で考えると、次のようになります。

よって、分母は、

２０２２÷３＝６７４

より大きく

２０２２÷２＝１０１１

以下と分かります。

１０１１－６７４＝３３７（個）

答え　３３７個

本問は、分数の数列が与えられていますが、問題自体は「約数と倍数」に関するものでした。

「数と計算」の問題は本問のようにいくつかのテーマが含まれる問題も少なくありませんので、それぞれのテーマについて正確な学習が必要です。

今回は、２０２２年度の共学中で出された「数の規則性」に関する問題をご紹介しました。

一行問題では基本の解き方の定着が確認できますので、不正解の場合はすぐにおさらいをするようにしましょう。