「第６７０回　共学中の入試問題　比と割合 ２」

近年の共学中の入試問題で出された「比と割合」について考えています。

今回は売買算の問題を取り扱います。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】ある品物を原価の２割の利益を見込んで定価をつけましたが、売れなかったので定価の６００円引きで売ったところ、利益は原価の８％でした。この品物はいくらで売れましたか。

（成蹊中学校　２０２４年　問題２－（４））

【考え方】

品物の個数が１個のときは、「→」を使って条件を整理することができます。

割合に着目すると、「２割」も「８％」も元にする量（→の根元部分）が「原価」ですから、原価を１とします。

原価の

１.２－１.０８＝０.１２

が６００円にあたりますので、原価は

６００円÷０.１２＝５０００円

です。

５０００円×１.０８＝５４００円

答え　５４００円

本問は、「１個売り」の売買算の整理方法が確認できる問題です。

なお、上記の解答例以外に、

原価：定価：売価＝１：１.２：１.０８＝㉕：㉚：㉗

㉚－㉗＝６００円　→　①＝２００円

２００円×２７＝５４００円

のようにして求めることもできます。

２問目は「多数売り」の売買算です。

【問題】原価６００円の品物を仕入れ、それに１０％の利益を見込んで定価をつけて売ったところ、４０個余りました。余った４０個を定価の１割引きですべて売ったところ、９３６０円の利益を得ました。品物は全部で何個仕入れましたか。

（國學院久我山中学校　２０２４年　問題２－（５））

【考え方】

「多数売り」は表を使うと、条件がわかりやすくなります。

表の空欄にわかることを書き足していきます。

６００円×（１＋０.１）＝６６０円　…　定価（ア）

６６０円×（１－０.１）＝５９４円　…　値引き後の売価（イ）

５９４円×４０個＝２３７６０円　…　値引いて売った品物の売上合計（キ）

この後は、（エ）を□個、（ウ）を（□＋４０）個として解く方法と１個あたりの利益から考えていく方法などがあります。

ここでは１個あたりの利益を利用してみます。

６６０円－６００円＝６０円　…　定価で売ったときの１個あたりの利益

６００円－５９４円＝６円　…　値引きして売ったときの１個あたりの損失

６円×４０個＝２４０円　…　損失の合計（ケ）

（ク）－（ケ）＝９３６０円

９３６０円＋２４０円＝９６００円　…　定価で売ったときの利益の合計（ク）

９６００円÷６０円＝１６０個　…　定価で売った個数（エ）

１６０個＋４０個＝２００個

答え　２００個

本問は、利益についての考え方が確認できる問題です。

値引きをすると損失がでることに気をつけます。

なお、上記の解答例以外以外に、「もし、値引きをしなければ…」とする解き方もあります。

定価から

６６０円－５９４円＝６６円

を値引かなければ、売り上げが

６６円×４０個＝２６４０円

増えますから、総利益も２６４０円多い１２０００円になります。

値引きをしなければ１個あたりの利益はすべて６０円ですから、売った個数（＝仕入れた個数）は

１２０００円÷６０円＝２００個

とわかります。

３問目も「多数売り」に関する問題です。

【問題】３２００円で１００個仕入れた商品を、３割５分の利益がでるように値段をつけて販売しました。２０個しか売れなかったので、利益が２割となるようにするためには、いくら値下げをすればよいですか。

（広尾学園小石川中学校　２０２３年　問題２－（５））

【考え方】

「多数売り」の問題ですから、条件を表に整理することにします。

はじめは予定についてです。

３２００円×１００個＝３２００００円　…　仕入れ合計

３２００００円×０.３５＝１１２０００円　…　総利益

３２００００円＋１１２０００円＝４３２０００円　…　売り上げ合計

４３２０００円÷１００個＝４３２０円　…　定価

次に実際について整理します。

４３２０円×２０個＝８６４００円　…　定価で売った商品の売り上げ合計

３２００００円×０.２＝６４０００円　…　総利益

３２００００円＋６４０００円＝３８４０００円　…　売り上げ合計

３８４０００円－８６４００円＝２９７６００円　…　値下げして売る商品の売り上げ合計

１００個－２０個＝８０個　…　値下げして売る商品の個数

２９７６００円÷８０個＝３７２０円　…　値下げ後の売価

定価が４３２０円の商品を３７２０円で売るので、値下げ額は

４３２０円－３７２０円＝６００円

です。

答え　６００円

本問は、「多数売り」の売買算の考え方が確認できる問題です。

３２００円を１００個分の仕入れ合計として計算すると、

３２００円÷１００個＝３２円　…　原価

３２円×（１＋０.３５）＝４３.２円　…　定価

のように、値段に１円未満の数がでてきますので、「３２００円は１個あたりの仕入れ値」と気づけます。

なお、上記の解答例以外に、利益率に着目した天びん図で解く方法もあります。

④＝３５％－２０％＝１５％　→　①＝１５％÷４＝３.７５％

２０％－３.７５％＝１６.２５％　…　値引き後の利益率

３２００円×（０．３５－０.１６２５）＝６００円

最後は、「利益が等しくなる売り方」の売買算です。

【問題】原価が１個３２０円の品物があります。この品物を定価の５％引きで２０個売るときの利益と、定価の１０％引きで３０個売るときの利益は等しくなります。この品物の定価は、１個何円ですか。

（法政大学中学校　２０２３年　問題２－（６）　問題文一部変更）

【考え方】

この問題でいう「利益」とは、総利益のことです。

総利益は（１個あたりの利益）×（個数）で求められますので、比を使った整理ができます。

わかったことを線分図に表すと、次のようになります。

定価の５％と定価の１０％の差が利益の差の①にあたりますから、定価は

（③－②）÷（０.１－０.０５）＝⑳

です。

⑳×０.０５＝①　…　定価の５％

⑳＝３２０円＋③＋①　→　①＝３２０円÷（２０－４）＝２０円

２０円×２０＝４００円

答え　４００円

本問は、総利益が等しくなる２通りの売り方についての考え方が確認できる問題です。

売買算では、「総利益」も「１個あたりの利益」も「利益」と表現されることがあります。

問題文の前後関係からどちらのことを示しているのかを正しく読み取りましょう。

今回は、２０２３年度と２０２４年度に共学中の入試で出された「売買算」の問題をご紹介しました。

見てきましたように、売買算のポイントは、

① 条件の整理方法を選ぶ

② 原価、定価、売価、利益の関係や仕入れ合計、売り上げ合計、総利益の関係を覚える

③ 「仕入れ」や「利益」が１個あたりのものなのか総額なのかを読み取る

です。

また、定価や売価で解けないときは１個あたりの利益を利用するなど、複数の視点も必要です。

これらのポイントを問題集や塾のテキストでひとつひとつきちんとおさえ、入試レベルの問題が解けることを目指しましょう。

手始めに、今回ご紹介した問題を解き、どのポイントに弱点があるのかを明確にしていくとよいと思います。