「第７１８回　男子中の入試問題　立体図形 ２」

前回から、近年に男子中の入試で出された「立体図形」の問題を取り扱っています。

２回目の今回のテーマは「回転体」です。

１問目は、基本レベルの問題です。

【問題】下図の台形ＡＢＣＤを直線Ｌの周りに一回転してできる立体の体積は何㎤ですか。ただし、円周率は３.１４とし、円すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。

（巣鴨中学校　２０２４年　問題１－（６））

【考え方】

台形を１回転させてできる立体は円すい台です。

円すい台の体積は円すい（大）から円すい（小）を取り除いて求めます。

赤色の三角形と水色の三角形は相似で、相似比は

６㎝：３㎝＝２：１

ですから、円すい（大）と円すい（小）体積比は

（２×２×２）：（１×１×１）＝８：１

円すい（大）と円すい台の体積比は

８：（８－１）＝８：７

です。

また、

★㎝：☆㎝＝２：１

で、その差にあたるＡＢが６㎝ですから、

★㎝＝６㎝×２/（２－１）＝１２㎝

です。

よって、円すい台の体積は

６㎝×６㎝×３.１４×１２㎝×１/３×７/８＝３９５.６４㎤

です。

答え　３９５.６４㎤

本問は、円すい台の体積の求め方を確認できる問題です。

解答例では見取り図を用いましたが、考え方が身についたら回転させる平面図形（回転体の断面）の図だけで解いてもよいでしょう。

２問目は、回転の軸が回転する図形の内部にある問題です。

【問題】［図１］のような平行四辺形ＡＢＣＤを、直線ＡＣを軸として１回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。また、表面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４とし、（円すいの体積）＝（底面積）×（高さ）×１/３で求められます。

（浅野中学校　２０２５年　問題１－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

１回転させますから、三角形ＡＣＤを回転の軸について線対称な位置に移動させても、同じ立体ができます。（左下図）

ＡＣと垂直で真ん中の点を通る直線ＥＦで図形を上下に分けると、合同な円すい台が２つできることがわかります。（右下図）

三角形ＡＢＣと三角形ＡＥＦは相似で、相似比は

ＡＣ：ＡＦ＝８㎝：４㎝＝２：１

ですから、三角形ＡＢＣが１回転してできる円すい（大）と三角形ＡＥＦが１回転してできる円すい（小）の体積比は

（２×２×２）：（１×１×１）＝８：１

です。

６㎝×６㎝×３.１４×８㎝×１/３×７/８×２＝５２７.５２㎤　…　体積

円すい台の表面積も円すい（大）から円すい（小）を取り除いた立体として考えます。

６㎝×６㎝×３.１４＝３６㎠×３.１４　…　円すい台の底面積（下側）

上下の円すい台で、半径が３㎝の円である底面はぴったり接していますから、立体の表面にはなりません。

最後に、側面積を求めます。

円すい（大）と円すい（小）の相似比は２：１ですから、側面積の比は

（２×２）：（１×１）＝４：１

円すい（大）と円すい台の側面積の比は

４：（４－１）＝４：３

です。

円すいの側面積は（底面の半径）×（母線）×（円周率）で求められます。

６㎝×１０㎝×３.１４×３/４＝４５㎠×３.１４　…　円すい台の側面積

以上より、合同な２つの円すい台が上下に組み合わさった立体の表面積は

（３６㎠×３.１４＋４５㎠×３.１４）×２＝５０８.６８㎠

です。

答え　体積　５２７.５２㎤、　表面積　５０８.６８㎠

本問は、円すい台の基本を確認できる問題です。

また、回転の軸が１回転させる図形の内部にある場合、図形の一部を回転の軸について線対称な位置に移動させて、回転の軸の片側に集めて考えることも大切なポイントです。

最後は、比の利用がポイントとなる問題です。

【問題】図のように、面積が１㎠の正方形でできたマス目と、直線①があります。

下のそれぞれの図について、色をつけた部分を直線①のまわりに１回転させてできる立体の体積を考えます。ただし、円周率は３.１４とします。

（１） 図２からできる立体の体積は、図１からできる立体の体積の何倍ですか。

（２） 図２からできる立体の体積を求めなさい。

（３） 図３からできる立体の体積を求めなさい。

図のように、面積が２㎠の正方形でできたマス目と、直線②があります。

下のそれぞれの図について、色をつけた部分を直線②のまわりに１回転させてできる立体の体積を考えます。ただし、円周率は３.１４とします。

（４） 図５からできる立体の体積は、図４からできる立体の体積の何倍ですか。

（５） 図６からできる立体の体積を求めなさい。

（攻玉社中学校　２０２５年　問題４　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

はじめに、下の図の影をつけた部分を直線①のまわりに１回転させてできるの図形Ａ～Ｃ（円柱）について、体積比を考えます。

よって、図１からできる立体の体積を１とすると、図２からできる立体の体積は

１＋４＋９＝１４

です。

１４÷１＝１４（倍）

答え　１４倍

（２）

１マスの面積が１㎠ですから、１マスの辺の長さは１㎝、図形Ａの円柱の体積は

１㎝×１㎝×３.１４×１㎝＝３.１４㎤　…　体積比の１にあたる体積

です。

３.１４㎤×１４＝４３.９６㎤

答え　４３.９６㎤

（３）

図３からできる立体の体積を（１）で求めた比で表すと

（４－１）＋４＋（９－１）＋（９－４）＝２０

です。

３.１４㎤×２０＝６２.８㎤

答え　６２.８㎤

（４）

はじめに、下の図の影をつけた部分を直線②のまわりに１回転させてできる図形Ｄ～Ｆ（２つの合同な円すいを組み合わせた立体）について、体積比を考えます。

図４、図５の色をつけた部分のうち、水色の部分は１回転するとき赤色部分と重なりますから、図４からできる立体は図形Ｄの立体と同じ、図５からできる立体は図形Ｅの立体と同じです。

よって、図４からできる立体の体積を１とすると、図５からできる立体の体積は８なので、

８÷１＝８（倍）

です。

答え　８倍

（５）

図６からできる立体の体積を（４）の考え方の比で表すと

４×４×４＝６４

６４－（１＋２７）＝３６

です。

また、マス目の面積が２㎠ですから、マス目の対角線の長さを□㎝とすると

□㎝×□㎝÷２＝２㎠　→　□㎝＝２㎝

なので、図形Ｄの立体の体積は

１㎝×１㎝×３.１４×２㎝÷３＝１５７/７５㎤　…　体積比の１にあたる体積

です。

１５７/７５㎤×３６＝７５.３６㎤

答え　７５.３６㎤

本問は、回転体の体積を工夫して求めることができる問題です。

体積の公式を使って図１～６の回転体の体積を求めたときは、比を用いた工夫も確認します。

今回は、２０２４年度と２０２５年度に男子中の入試で出された「回転体」の問題をご紹介しました。

正解できない問題があるときは、回転する平面図形からできる立体の見取り図のかき方や相似の利用方法をチェックしてみましょう。