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第367回 2018年度入試に向けて 1

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数の性質の練習問題2017年11月25日18時00分

「第367回 2018年度入試に向けて 1」


首都圏入試まで約2ヶ月、関西エリアの入試まではおよそ1.5ヶ月となりました。


しかし、首都圏の「1月校」、関西エリアの「前受け校」受験を考えると、
残された準備期間はさらにぐっと短くなります。


関西エリアの場合、
前受け受験が岡山県、香川県、愛媛県、北海道などの中学が
大阪市や神戸市などで実施する「県外受験」であり、
早い学校は12月の初旬に入試を行います。


このとき、どの学校を前受け校にするかは、
これまでに大手進学塾で行われた模擬テストのデータが参考となってきます。


例えば、関西の大手進学塾である浜学園の場合、
年4回実施する「合否判定学力テスト」や
毎月行われる「公開学力テスト」の数値などを元に、
受験推奨パターンを塾生に提供しており、
受験生はこの情報などを参考にして、
前受け校から第1志望校、滑り止めなどを含めた
受験スケジュールを決めていきます。


そこで、今回はこの受験推奨パターンの最後のデータの1つとなる
「浜学園 2017年度 第4回 合否判定学力テスト」
についてみていこうと思います。


浜学園の合否判定学力テストは、
通常は1日間でテストを行うのですが、
今年は台風の襲来があったため、
この第4回の合否判定学力テストは2日間に分かれて行われました。


1日間で実施される場合は、
4科目受験であれば約6.5時間かけて行われるため
集中力の継続が必要となるテストで、
受験生によっては試験後半に行われる算数Ⅱで
実力を発揮しきれないこともあります。


しかし、第4回の合否判定学力テストは2日間に分かれて行われたため、
第3回と同様の難度であれば
算数Ⅱでもある程度の得点を獲得するチャンスがあったかもしれません。


それでは、問題を見ていきます。




浜学園 2017年度 第4回 合否判定学力テスト 算数Ⅱより 


問題2 下のようにあるきまりで数が並んでいます。
1、2、5、10、17、26、37、...
次の問いに答えなさい。

(1) はじめから数えて15番目の数はいくつですか。

(2) はじめから数えて44番目までに、一の位の数が5の数は全部でいくつありますか。

(3) この数列に並んでいる2つの数A、Bについて、BがAよりも135大きいとき、考えられる数Aのうち、大きい方から数えて3番目の数はいくつですか。








数の規則性に関する問題です。


【解答例】
(1) 
数の規則性のうち、数列がテーマの問題では、
隣り合う2数の差に着目するのが大原則です。


この数列では隣り合う2数の差は左から順に、
1、3、5、7、9、11、...
のように1からの奇数になっています。


したがって、14番目の数と15番目の数の差は
1から数えて14番目の奇数です。


1からの奇数の和は(1からの奇数の個数)2ですから、
15番目の数は 1+142197 です。


(1)は書き出しでも解けますから、正解しておきたい問題です。 




(2) 
規則性がないかを調べてみます。


問題の数列は、
1、2、5、10、17、26、37、50、65、72、101、122、145、170、197、226、257、290、...
のように並んでいますから、
一の位の数は、
1、2、5、0、7、6、7、0、5、2、1、2、5、0、7、6、7、0、...
となります。


調べると、
一の位の数は「1、2、5、0、7、6、7、0、5、2」の10個1組
繰り返していることがわかります。


44番目÷10個=4組あまり4個 
2個×4組+1個=9 


□番目の数=1+(1から□-1番目までの奇数の和)と考えて、
一の位が4になる平方数(22、82、122、182、...)に着目してもOKです。 




(3) 
□番目の数A=1+(1から□-1番目までの奇数の和)、
☆番目の数B=1+(1から☆-1番目までの奇数の和)と考えると、
(1から□-1番目までの奇数の和)と (1から☆-1番目までの奇数の和)の差が135です。


つまり、□番目から☆-1番目までの連続する奇数の和が135 ということです。


「連続する奇数の和÷連続する奇数の個数(奇数個)=中央の奇数(平均)」
を利用すると、
連続する奇数の個数は、
135=33×5 より、
1個、3個、5個、9個、15個、27個、45個、135個の中にあることがわかります。


1個のとき...135 → A=1+(1+3+...+133)=1+672
3個のとき...43+45+47 → A=1+(1+3+...+41)=1+212
5個のとき...23+25+27+29+31 → A=1+(1+3+...+21)=1+112
9個のとき...7+9+11+13+15+17+19+21+23 → A=1+(1+3+5)=1+32 

連続する奇数の個数が15個以上の場合は、
最小の奇数が1よりも小さくなるので答えにあてはまりません。


上記の4通りのうち、
求めるものは大きい方から数えて3番目ですから、
A=1+(1+3+...+21)=1+112122 です。


求めるものが「小さい方から3番目」であれば書き出しでも求められますが、
本問は「大きい方から」なので書き出しでは困難です。


(3)はかなりの難問だといえそうです。


問題2は(2)まで正解できればOKでしょう。


問題3以降については、次回で見ていこうと思います。

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数の性質の練習問題2017年11月25日18時00分
主任相談員の前田昌宏
中学受験情報局『かしこい塾の使い方』の主任相談員である前田昌宏が算数の面白い問題や入試問題を実例に図表やテクニックを交えて解説します。
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