「第５５９回　共学校の場合の数　５」

近年に共学校の中学入試で出された「場合の数」の問題を見てきています。

今回は「場合の数」の最終回として、「ゲーム」がテーマになっている問題を取り扱っていきます。

【問題】下の図を使って、次の【ルール】に従ってすごろくをします。

【ルール】

①　最初に「あ」の位置にこまを置く。

②　コインを１回投げ、表が出たら２つ、裏が出たら１つ、駒を時計回りに進める。

③　②をくりかえし、こまが再び「あ」の位置に止まったらあがる。

（１）こまがちょうど１周してあがるときの、コインの表と裏の出方は全部で何通りですか。

（２）こまがちょうど２周してあがるときの、コインの表と裏の出方は全部で何通りありますか。

（三田国際学園中学校　２０２０年　問題３）

【考え方】

（１）こまがちょうど１周してあがるとき、こまはあわせて６つ進むことになります。

１回あたりの進み方は２つまたは１つですから、

２×□＋１×△＝６

となる（□、△）を求める問題と同じです。

（□、△）＝（３、０）、（２、２）、（１、４）（０、６）

これらについて、表（○）と裏（×）の出る順序を考えていきます。

（□、△）＝（３、０）のとき→１通り

（□、△）＝（２、２）のとき

○、○、×、×の並べ方ですから、「区別のない４つの箱から２つの箱を選んで○を入れる」と考えることができます。

箱にＡ～Ｄのように名前があれば、１個目の○の入れ方がＡ～Ｄの４通り、２個目の○の入れ方が残りの箱の３通り、全部で

４通り×３通り＝１２通り

です。

しかし、箱に区別がなければ、１個目をＡ、２個目をＢに入れることと、１個目をＢ、２個目をＡに入れることは同じになりますから、「区別のない４つの箱から２つの箱を選んで○を入れる」方法は、

１２通り÷２＝６通り

です。

（□、△）＝（１、４）のとき

「区別のない５つの箱から１つの箱を選んで○を入れる」のように考えられますから、５通りです。

（□、△）＝（０、６）のとき→１通り

従って、全部で

１通り＋６通り＋５通り＋１通り＝１３通り

あります。

答え　１３通り

（２）（１）と同じように考えることもできますが、問題図を次のように書き換えると、「踏み台解法（１つ前の利用）」が利用できます。

上の図のように、階段を１回に１段または２段上がって全部で１２段上がる「階段問題」と同じです。

例えば、全部で３段の「階段問題」で踏み台解法を用いると、次のようになります。

このように「２段前の場合の数＋１段前の場合の数」をくり返していくのですが、ここで注意する点があります。

それは、１周目から２周目に入るときに「あ」に止まってしまうと、そこで「あがり」になってしまうことです。

ですから、本問の階段の図は、１周目と２周目に分けて考えることが必要です。

答え　６４通り

本問は、「すごろく」が題材となっていますが、実際には「階段問題」を同じものでした。

なお、（２）では、「あ」から「か」まで５段上がるので８通り、「か」から「い」は１通り、「い」から「あ」は５段上がるので８通り、よって全部で

８通り×１通り×８通り＝６４通り

のようにして解くこともできます。

では、もう１問です。

【問題】１枚のコインを続けて投げます。表が連続して３回、または裏が合計で４回出たら、投げることをやめます。

（１）コインを投げた回数が最も多いとき、投げた回数は何回ですか。

（２）表が出て投げることをやめたとき、コインを投げた回数は（１）で求めた回数より２回少なかったです。このとき、コインの表と裏の出方として考えられるのは、全部で何通りですか。

（神奈川大学附属中学校　２０２０年　問題４）

【考え方】

（１）表を○、裏を×として考えます。

☆表が３回連続してやめる場合

最後の３回の出方は○○○です。

回数を最も多くするため、この前に×を３回と○○を何回かつけたすことを考えると、○○×○○×○○×○○○の１２回が最も多い場合です。

☆４回目の裏が出てやめる場合

最も少ない回数のときの出方は××××です。

これに○○を入れることを考えると、○○×○○×○○×○○×の１２回が最も多い場合です。

答え　１２回

（２）表が出てやめますから、最後の４回は×○○○です。

そこで、残りの回数の

１２回－４回－２回＝６回

について、○は３回続かない、×は２回以下の２点に注意しながら調べていきます。

答え　６通り

本問は「場合分け」をして考えると正解しやすい問題でした。

今回は「場合の数」の最終回として「ゲーム」がテーマになっている問題について考えましたが、ここでも基本は樹形図などの整理方法、区別があるときとないときの計算方法、「場合分け」という考え方でした。

「場合の数」を学習するときはまずはこの整理方法と計算方法を身につけ、次に応用として余事象の利用、踏み台解法など様々な工夫ができるような練習をしていくことができればいいなと思います。