第580回　女子中の入試問題　平面図形 6

図形の練習問題｜ 2022年05月14日18時00分

「第５８０回　女子中の入試問題　平面図形６」

ここまで近年の女子中の入試で出された「平面図形」に関する問題について考えています。

今回は「移動」がテーマの問題の中から、「糸巻き」問題を取り扱います。

１問目は基本レベルの問題です。

【問題】１辺の長さが４㎝の正三角形ＡＢＣがあり、図のように辺ＡＢ上の点Ｐに長さ５㎝の糸の端が固定されています。また、糸のもう一方の端にはペンがついています。糸をたるませずにぴんと張ったままで、正三角形のまわりに巻きつけるように動かすとき、次の問いに答えなさい。ただし、糸やペンの太さは考えず、糸はＡの側にもＢの側にも巻きつけることとします。また、ペンの先は紙からはなさないものとします。

（１）ペンが描く線を、下の図にかきなさい。ただし、作図に使った線は消さずに残しておきなさい。

（２）（１）でかいた線の長さを求めなさい。ただし、円周率は３.１４とします。

（学習院女子中等科　２０２１年　問題５）

【考え方】

（１）

「糸」を「正三角形の角で曲げることができる真っ直ぐな細い棒」だとすると、作図がしやすくなります。

はじめに「棒」をＰＢにくっつけて、Ｐを中心に「Ａの側」に「棒」がＰＡにくっつくまで回転させます。（図１）

次にＡから「はみだした」２㎝の棒を、Ａを中心に棒が辺ＡＣにくっつくまで回転させます。（図２）

今度は、棒を図１のはじめの位置から、「はみだした」４㎝の棒をＢを中心に反時計回りに辺ＢＣにくっつくまで回転させます。（図３）

答え　　

（２）

５㎝×２×３.１４×１８０度／３６０度＝５×３.１４（㎝）　…　図１

２㎝×２×３.１４×１２０度／３６０度＝４／３×３.１４（㎝）　…　図２

４㎝×２×３.１４×１２０度／３６０度＝８／３×３.１４（㎝）　…　図３

（５＋４／３＋８／３）×３.１４＝２８.２６（㎝）

答え　２８.２６㎝

本問は「糸巻き」問題の正確な作図と計算が身についているかを確認できる問題です。

「移動」がテーマの問題では作図が必要になることもありますから、本問のような問題で基本のチェックをするといいですね。

２問目は、相似も問いに含まれる問題です。

【問題】下の図のような１辺の長さが６㎝の正五角形ＡＢＣＤＥがあります。この正五角形のまわりに、頂点Ａから辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡと糸を巻きつけます。今度はこの糸をぴんと張りながら、点Ａから矢印の方向に点Ｉまでほどいていきます。図のように、２つの点Ｄ、Ｅと一直線上に並ぶ点をＦ、２つの点Ｃ、Ｄと一直線上に並ぶ点をＧ、２つの点Ｂ、Ｃと一直線上に並ぶ点をＨとします。次の□にあてはまる数を求めなさい。（円周率は３.１４とします。）

（１）おうぎ形ＡＦＥとおうぎ形ＣＧＨの面積の比を最も簡単な整数の比で表すと□：□です。

（２）糸の先端が点Ａから点Ｈまで動いてできる曲線の長さは□㎝です。

（３）糸の先端が点Aから点Iまで動いてできる曲線の長さが８３.２１㎝になったとき、図の角あ○の大きさは□度です。