「第５８３回　女子中の入試問題　立体図形 ２」

前回から、近年の女子中の入試で出された「立体図形」の問題について考えています。

今回は「立体図形の求積」について見ていきます。

【問題】たて、横、高さがそれぞれ４㎝、８㎝、１２㎝の直方体があります。真上から見たとき図１の斜線の部分となるように、四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。次に真横から見たとき図２の斜線の部分となるように、側面に垂直にもとの立体の反対側の面までくりぬき、穴をあけます。すると、できた立体は、図３のようになりました。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）できた立体の体積は何㎤ですか。

（２）できた立体の表面積は何㎠ですか。

（淑徳与野中学校　２０２１年　問題７）

【考え方】

（１）

くり抜いた立体は次のようになります。

影をつけた部分は重なりですから、２つの四角柱の体積の和から引きます。

２㎝×２㎝×（１２㎝＋８㎝）－２㎝×２㎝×２㎝＝７２㎤　…　くり抜いた立体の体積

４㎝×８㎝×１２㎝＝３８４㎤　…　元の直方体の体積

３８４㎤－７２㎤＝３１２㎤

答え　３１２㎤

（２）

できた立体の外側の面積は、元の直方体の表面積よりも穴の面積の分だけ少なくなっています。

（４㎝×８㎝＋８㎝×１２㎝＋１２㎝×４㎝）×２－２㎝×２㎝×４＝３３６㎠　…　外側

できた立体の内側の面積は、下の図の影をつけた部分（穴の面以外）の面積と同じです。

「積み木」と同じように、３方向から見て面積を求めます。

１２㎝×８㎝－５㎝×３㎝×４＝３６㎠　…　真正面から見た面積

（１２㎝－２㎝）×２㎝＝２０㎠　…　真横から見た面積

２㎝×（８㎝－２㎝）＝１２㎠　…　真上から見た面積

（３６㎠＋２０㎠＋１２㎠）×２＝１３６㎠　…　内側

３３６㎠＋１３６㎠＝４７２㎠

答え　４７２㎠

本問は２方向からのくり抜きですから、３方向からのくり抜きに比べると解きやすい問題です。

くり抜き問題の解き方は、元の立体とくり抜いた立体に分けるところがポイントです。

では、次の問題です。

【問題】下の＜図１＞のように、高さが１０㎝の直方体と、高さが１５㎝で底面が直角二等辺三角形の三角柱を組み合わせた立体があります。この立体と底面が合同で体積が同じ立体を作ったところ、＜図２＞のように高さが１２㎝になりました。＜図１＞のあ○とい○の長さの比を求めなさい。

（横浜雙葉中学校　２０２１年　問題１－（６））

【考え方】

底面積と体積が同じですから、図１の立体を「均す」と図２の立体になるという意味です。

そこで真正面から見た図を書いて考えます。

赤色斜線の面積：青色斜線の面積＝１：１

赤色斜線のたて：青色斜線のたて＝（１２㎝－１０㎝）：（１５㎝－１２㎝）＝２：３

↓

赤色斜線の横：青色斜線の横＝３：２

わかったことを真上から見た図に書きこみます。

直方体の底面と三角柱の底面は高さが同じ長方形と三角形ですから、面積比＝（上底＋下底）の比です。

面積比　長方形：三角形＝３：２

↓

上底＋下底の比　（あ○×２）：い○＝３：２

あ○：い○＝１.５：２＝３：４

答え　３：４

本問は具体的な体積を求めることができませんので、比を利用することになります。

このとき、上記のように真正面から見た図を利用すると考えやすくなりますが、水問題のときと同じように、図の「底辺」にあたる部分が「底面積」であることに気をつけます。

最後は、円すいに関する問題です。

【問題】右の図１のような円すいがあります。図２は、図１の円すいを底面に平行な平面で切って高さの等しい３つの立体に分け、上の立体と下の立体を重ねてできた立体です。図２の立体の表面積を求めなさい。

（頌栄女子学院中学校　２０２１年　問題１－（５））

【考え方】

円すいの側面積＝母線の長さ×底面の半径×円周率という円すいの特別な公式と、相似を利用します。

６㎝×３㎝×３.１４＝１８㎠×３.１４　…　図１の側面積

３㎝×３㎝×３.１４＝９㎠×３.１４　…　図１の底面積

図２の立体は図１の立体を次のように切断しています。

相似を利用するために、底面の半径が１㎝、２㎝、３㎝の３つの円すいで考えます。

３つの円すいの相似比は１：２：３ですから、底面積や側面積の比は１：４：９です。

１８㎠×３.１４×（９－４＋１）／９＝１２㎠×３.１４　…　図２の立体の側面積

９㎠×３.１４×（９＋４－１）／９＝１２㎠×３.１４　…　図２の立体の底面積

１２㎠×３.１４＋１２㎠×３.１４＝７５.３６㎠

答え　７５.３６㎠

本問は、円すいの特別な公式と相似の利用が確認できる問題でした。

ここでは面積比を用いましたが、それぞれの円すいの母線の長さを求めてから側面積を計算してもＯＫです。

今回は、近年の女子中の入試で出された立体図形の求積に関する問題をご紹介しました。

どの問題も、立体図形の見取り図や投影図を利用しながら、順番に処理をしていくことがポイントになっています。

基本的な解き方を積み重ねていけば正解できる問題ですので、立体図形を習い終えていたらこれらの問題で解法の定着度をチェックしてみましょう。