「第６０９回　共学中の入試問題　比と割合 ４」

２０２２年度の共学中入試で出された「比と割合」について見ています。

今回も「食塩水の濃さ」の大問形式の問題を引き続き取り上げていきますが、前回よりは少し難しくなっています。

【問題】濃度５％の食塩水Ａと濃度８％の食塩水Ｂと濃度のわからない食塩水Ｃがあります。Ａ、Ｂ、Ｃを２：１：１の割合で混ぜると、濃度７％の食塩水ができます。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ｃの濃度を求めなさい。

（２）Ａを１００ｇ、Ｂを（ア）ｇ混ぜる予定でしたが、間違えてＡを１００ｇ、Ｃを（ア）ｇ混ぜてしまい、濃度が予定よりも１.５％高くなりました。（ア）にあてはまる数を求めなさい。

（３）Ａを１００ｇ、Ｂを（イ）ｇ混ぜる予定でしたが、間違えてＡを（イ）ｇ、Ｂを１００ｇ混ぜてしまい、濃度が予定よりも１％高くなりました。（イ）にあてはまる数を求めなさい。

（市川中学校　２０２２年　問題３）

【考え方】

（１）

３つの食塩水の混合を１つの天びん図に表しても構いませんが、ここでは濃度と混ぜる重さの比がわかっている食塩水ＡとＢを先に混合し、できる食塩水をＤとします。

重さの比　Ａ：Ｂ＝２：１

うでの長さの比　①：②

①＋②＝８％－５％

①＝１％

５％＋１％＝６％

食塩水Ｄの濃度は６％、重さは３と求められました。

これと食塩水Ｃを混ぜ、できる食塩水をＥとします。

重さの比　Ｄ：Ｃ＝３：１

うでの長さの比　①：③

①＝７％－６％＝１％

７％＋１％×３＝１０％　…　食塩水Ｅの濃度

答え　１０％

（別解）

混ぜる食塩水の重さを、Ａ２００ｇ、Ｂ１００ｇ、Ｃ１００ｇと仮定し、「塩分数」を利用します。

１０ｇ＋８ｇ＋☆ｇ＝２８ｇ

☆ｇ＝１０ｇ

１０ｇ÷１００ｇ＝０.１　→　１０％

（２）

条件を面積図に表します。

面積図の赤色の長方形に着目します。

食塩水Ｂよりも食塩水Ｃに含まれる食塩の重さが★の長方形だけ多いため、混合後の食塩水に含まれる食塩の重さも赤色斜線の長方形だけ多くなることがわかります。

縦の長さの比　★：赤色斜線＝２％：１.５％＝４：３

横の長さの比　★：赤色斜線＝③ｇ：④ｇ

差 ①ｇ＝１００ｇ

（ア）ｇ＝③ｇ＝３００ｇ

答え　３００（ｇ）

（別解）

ア＝１００○ｇとして、条件を表に整理します。

予定と実際では、食塩水の重さは同じですが濃度が１.５％高いため、食塩の重さが②ｇ多くなったことがわかります。

１００ｇ×０.０１５＋１００○ｇ×０.０１５＝②ｇ

１.５ｇ＋１.５○ｇ＝②ｇ

①ｇ＝３ｇ

３ｇ×１００＝３００ｇ

（３）

条件を天びん図に表します。

１□％＋①％＝３％

１□％－①％＝１％

和差算です。

（３％－１％）÷２＝１％　…　①％

１□％＝２％

うでの長さ　①％：１□％＝１％：２％＝１：２

重さの比　１００ｇ：（イ）ｇ＝２：１

（イ）ｇ＝５０ｇ

答え　５０（ｇ）

（別解）

イ＝１００○ｇとします。

（１００ｇ＋１００○ｇ）×０.０１＝（１００ｇ－１００○ｇ）×（０.０８－０.０５）

④ｇ＝２ｇ

１００○ｇ＝５０ｇ

本問は、面積図、天びん法、①解法のいずれの方法で条件整理をしても、その後の処理がポイントになっています。

条件整理をしても着目する点に気付けないときは、別の整理方法を試してみるのもよいでしょう。

では、もう１問です。

【問題】果汁から、重さの８割にあたる水分を取り除いたものを「５倍濃縮ジュース」といいます。これは、水で５倍にうすめれば果汁１００％のジュースになります。同様に、果汁から重さの５割のにあたる水分を取り除いたものを「２倍濃縮ジュース」といいます。いま、５倍の濃縮ジュース６０ｇと２倍の濃縮ジュース４０ｇを混ぜた濃縮ジュースを作りました。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）このジュースは何倍濃縮ですか。

（２）このジュースを、果汁１００％のジュースにするには水を何ｇ加えればよいですか。

（法政大学中学校　２０２２年　問題６）

【考え方】

（１）

食塩水の水を蒸発させる問題の類題です。

上の図より、「５倍濃縮ジュース」の濃さは「果汁５００％」とわかります。

同じように、「２倍濃縮ジュース」の濃さを「果汁２００％」として、問題の条件を天びん図に整理します。

③＋②＝５００％－２００％

①＝６０％

２００％＋６０％×３＝３８０％

できた濃縮ジュースは「果汁３８０％」ですから、「３.８倍濃縮ジュース」ということになります。

答え　３.８倍

（別解）

「５倍濃縮ジュース」６０ｇは水を

６０ｇ×（５－１）＝２４０ｇ

加えると３００ｇの果汁１００％のジュースになります。

同様に、「２倍濃縮ジュース」４０ｇは水を

４０ｇ×（２－１）＝４０ｇ

加えると８０ｇの果汁１００％のジュースになります。

ですから、「５倍濃縮ジュース」６０ｇと「２倍濃縮ジュース」４０ｇを混ぜた濃縮ジュースは水を

２４０ｇ＋４０ｇ＝２８０ｇ

加えると３８０ｇの果汁１００％のジュースになります。

逆に、加えた水を取り除いて重さを１００ｇにすると、（１）の濃縮ジュースが作れます。

３８０ｇ÷１００ｇ＝３.８

（倍）答え　３.８倍

（２）

水で３.８倍にうすめればよいので、加える水の重さは濃縮ジュースの重さの

３.８倍－１倍＝２.８倍

です。

（６０ｇ＋４０ｇ）×２.８＝２８０ｇ

答え　２８０ｇ

本問は、練習する機会があまりない「濃縮ジュース」がテーマの問題でした。

濃縮すると１００％よりも大きい値になる点になじみがないため、少し不安になるかもしれません。

解いたことがないときは、本問で練習をしておきましょう。

今回は、２０２２年度に共学中の入試で出された「食塩水の濃さ」の少し難しい大問形式の問題をご紹介しました。

前回までの基本問題や定番問題が正解できるようになっていれば、今回の問題で力試しをしてもよいと思います。