「第６２５回　共学中の入試問題　立体図形 １」

前回まで、２０２２年度と２０２３年度の共学中入試で出された「平面図形」の問題を見てきました。

今回からは「立体図形」の問題を取り扱っていきます。

１回目の今回のテーマは「立体図形の表し方」です。

１問目は、「積み木の表面積」に関する問題です。

【問題】同じ大きさの立方体が右の図のように上から１個、３個、６個…を積み重なっています。表面を全て赤色でぬったとき、１つの面だけが赤くぬられている立方体は何個ありますか。

（明治大学付属中野八王子中学校　２０２２年　問題２－（６））

【考え方】

「積み木の表面積」の問題を解くときの基本は、

・投影図の利用する

・スライス解法の利用する

の２つです。

本問は「１つの面だけが赤色の立方体」だけについて考えますので、６段に積まれた「積み木」を水平に切り分けるスライス解法を用います。

上から１段目は、図の青色の正方形の面が２段目の立方体と接していますので、赤色の面は５つあります。

このことを次のように表します。

上から２段目は、図の青色の正方形の面が上下の段の立方体や同じ２段目の立方体と接しています。

よって、赤色の面はの数は次のように表せます。

３段目以降も同様に表します。

６段目は下の面も赤色にぬられているので、赤色の面が１つだけぬられている立方体は図の６個です。

０個＋０個＋２個＋４個＋６個＋６個＝１８個

答え　１８個

本問は、積み木の表面積の求め方が確認できる問題です。

もし、まちがえてしまったときは、１段ずつ正しく調べることができたかをチェックしましょう。

２問目は、円すいと最短距離に関する問題です。

【問題】底面が半径２㎝の円で、母線の長さが６㎝である円錐があります。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）この円錐の展開図を、コンパスと定規を用いて作図しなさい。ただし、［解答らん］のＸＹの長さを２㎝とします。

（２）図のように、底面の円周上に点Ａをとり、Ａから再びＡに戻るように最短距離でひもをかけました。このとき、ひもの長さを求めなさい。ただし、１辺の長さが２㎝の正三角形の高さは１.７３㎝とします。

（３）図のように、底面の円周上に２点Ａ、Ｂを、ＡＢが底面の直径となるようにとり、Ａから再びＡに戻るように、Ｂから再びＢに戻るように最短距離でひもをかけました。このとき、図の斜線部分の面積を求めなさい。ただし、高さが１㎝の正三角形の面積を０.５８㎠とします。

（市川中学校　２０２３年　問題４）

【考え方】

（１）

はじめに、半径２㎝の円をかき、円の中心Ｏから直線を引きます。

次に、直線に半径が２㎝の円の一部をかいて２㎝を６回区切ります。

ここで、円すいの公式

を利用すると、

２㎝/６㎝＝中心角/３６０度　→　中心角＝１２０度

が求められます。

そこで、Ａ、Ｐを中心にそれぞれ半径６㎝の円の一部を直線の上側にかくと（交点をＣとします）三角形ＡＰＣは正三角形になりますので、角ＢＰＣを１２０度にすることができます。

最後に、Ｐを中心に半径６㎝のおうぎ形をかきます。

答え　（上の図）

（２）

「立体図形の表面を通るときの最短距離＝展開図にかいた直線の長さ」です。

（１）の図を利用します。

（記号は（２）用に書き直しています。）

上の図の三角形ＰＡＤは、（１）より１辺の長さが６㎝の正三角形とわかっています。

問題の条件「１辺の長さが２㎝の正三角形の高さは１.７３㎝」より、

１.７３㎝×６㎝/２㎝＝５.１９㎝

が 正三角形ＰＡＤの高さＡＨとわかります。

三角形ＰＡＡは二等辺三角形、角ＡＰＤはその三角形の外角です。

６０度÷２＝３０度　…　二等辺三角形の底角Ａ

ですから、三角形ＡＡＨは３０度、６０度、９０度の直角三角形とわかりますので、ひもＡＡの長さはＡＨの２倍です。

５.１９㎝×２＝１０.３８㎝

答え　１０.３８㎝

（３）

Ｂは弧ＡＡの真ん中（角ＡＰＢ＝６０度）にありますから、円すいの側面を２つ分にした展開図をかき、そこに２本のひもを書き入れると次のようになります。

斜線部分の面積は、おうぎ形の面積から２つの合同な二等辺三角形（底角＝３０度）の面積を引いて求められます。

底角が３０度の二等辺三角形を半分に切って移動させると、高さが３㎝の正三角形に等積変形することができます。

相似比　１㎝：３㎝＝１：３　→　面積比　１：９

０.５８㎠×９＝５.２２㎠ … ★の面積

６㎝×６㎝×３.１４×６０度/３６０度－５.２２㎠×２＝８.４㎠

答え　８.４㎠

本問の（１）は円すいの公式の使い方と分度器を使わずに１２０度が作図できるか、（２）は最短距離の基本が身についてるか、（３）の作図は「ひもを２周りさせるときは、側面も２つかく」の考え方を応用できるかが確認できる問題です。

（３）はやや難しい問題ですが、（１）と（２）はそれよりも基本レベルに近い問題ですから、正解できなかったときはどこでまちがえたかをチェックしておきましょう。

今回は、近年の共学中入試で出された「立体図形の表し方」がテーマの問題をご紹介しました。

立体図形を見取り図、展開図、投影図で表すことや、立体の見えない部分をスライス解法で視覚化することは大切な解法です。

「自分の手で正確にかける、使える」ができるように、練習をしていきましょう。