「第６３０回　共学中の入試問題　立体図形 ６」

前回は近年の共学中入試で出された「水問題」の中から基本レベルの問題を見ました。

今回は応用レベルの「水問題」について考えていきます。

１問目は「水とグラフ」の問題です。

【問題】図４のような直方体の容器があります。この容器には、左側の側面から１２㎝の位置に、側面と平行に長方形のしきりがついています。この容器のしきりの右側には直方体のおもりが置いてあります。この容器のしきりの右側に、蛇口から一定の割合で水を入れます。図５は、水を入れ始めてからの時間（分）と容器の底から測った最も高い水面までの高さ（㎝）の関係をグラフにしたものです。ただし、容器やしきりの厚さは考えないものとします。

（１）図５のア、イにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

（２）蛇口から出ている水の量は毎分何㎤ですか。

（３）図４のウにあてはまる数を求めなさい。

（４）図５のエにあてはまる数を求めなさい。

（成蹊中学校　２０２２年　問題５）

【考え方】

（１）

水面がおもりの高さを超えるとき、しきりの高さを超えるときに、グラフが曲がります。

答え　ア　１４、　イ　６

（２）

容器を正面から見た図に、グラフからわかることを書き込みます。

Ｃの部分に着目します。

水はＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順に入りますので、Ｃの部分にかかる時間は

２４.４分－１３.９分＝１０.５分間

です。

１２㎝×１４㎝×２０㎝÷１０.５分間＝３２０㎤/分

答え　毎分３２０㎤

（３）

Ｄの部分に着目します。

容器の横の長さを□㎝とします。

Ｄの部分にかかる時間は

３６.４分－２４.４分＝１２分間

ですから

□㎝×（２０㎝－１４㎝）×２０㎝＝３２０㎤/分×１２分間

□＝３２０×１２÷２０÷６＝３２（㎝）

です。

３２㎝－１２㎝＝２０㎝　→　ウ＝２０

答え　２０

（４）

Ａの部分、Ｂの部分、おもりの体積の３つの和に着目します。

２０㎝×１４㎝×２０㎝＝３２０㎤/分×１３.９分＋おもりの体積

２０㎝×１４㎝×２０㎝－３２０㎤/分×１３.９分＝１１５２㎤　…　おもりの体積

Ａの部分、おもりの体積の２つの和に着目します。

２０㎝×６㎝×２０㎝＝３２０㎤/分×エ 分＋１１５２㎤

（２０㎝×６㎝×２０㎝－１１５２㎤）÷３２０㎤/分＝３.９分　→　エ＝３.９

答え　３.９

本問は「水のグラフ」の応用問題です。

（１）～（３）までは基本レベルですので、もし、まちがえたときは前回の問題などで復習をしましょう。

（４）は「容積（縦×横×高さ）＝給水量×時間」を応用する問題です。

おもりの辺の長さを求めなくてもよいことが、正解のキーとなっています。

なお、

３２０㎤/分÷２０㎝＝１６㎠/分

のようにして、容器の奥行きの２０㎝やおもりの縦の長さを考えなくてもよいようにすると、次のような面積図からつるかめ算として解くこともできます。

（１６㎠/分×１３.９分－８㎝×２０㎝）÷６㎝＝１０.４㎝　…　★㎝

（１０.４㎝×６㎝）÷１６㎠/分＝３.９分

２問目は容器を傾ける問題です。

【問題】図のような２つの立方体を組み合わせた容器に水を入れて密閉します。容器を傾けると４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは水面にありました。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、容器の厚みは考えないものとします。

（１）この容器に入れた水の量は何㎤ですか。

（２）面ＥＦＧＨが地面に接するように容器の向きを変えたとき、水面は地面から何㎝の高さになりますか。

（中央大学附属中学校　２０２２年　問題４）

【考え方】

（１）

傾けた容器を正面から見た図を、水面と地面が平行になるようにかきます。

三角形アと三角形ＡＩＤは相似で、相似比は

４㎝：（４㎝＋６㎝）＝２：５

です。

（６㎝－１㎝）×２/５＝２（㎝）　…　★（㎝）

容器の水は次の見取り図のように、三角柱と四角柱に分けられます。

４㎝×２㎝÷２×４㎝＝１６㎤　…　三角柱の体積

（３㎝＋６㎝）×６㎝÷２×６㎝＝１６２㎤　…　四角柱の体積

１６㎤＋１６２㎤＝１７８㎤

答え　１７８㎤

（２）

傾けた容器を正面から見た図を、水面と地面が平行になるようにかきます。

容器の水は次の見取り図のように、四角柱（水色）と四角柱（赤色）に分けられます。

６㎝×６㎝×１㎝＝３６㎤　…　四角柱（赤色）の赤線より下の部分の体積

１７８㎤－３６㎤＝１４２㎤　…　残りの水の体積

残りの水は２つの正方形を底面とする八角柱です。

１４２㎤÷（４㎝×４㎝＋６㎝×６㎝）＝２ １９/２６㎝　…　八角柱の高さ

ですから、水面は地面より

１㎝＋２ １９/２６㎝＝３ １９/２６㎝

の高さのところにあります。

答え　３ １９/２６㎝

本問は応用レベルの容器を傾ける水問題です。

「見取り図で求める立体の形を明確にし、投影図で正確な長さを求られる」ことが求められています。

不正解のときは基本レベルに戻って、図のかき方や使い方を確認しましょう。

今回は、近年の共学中の入試で出された「水問題」から応用レベルの問題をご紹介しました。

立体図形の問題も応用レベルになると差がつきやすいのですが、正解できる問題が増えるよう、問われていることに応じた図のかき方などをマスターできるといいですね、