2015年 中学受験対策 灘中 2
第183回 「灘中 2014年 1日目」2
今回も前回に引き続き「灘中 2014年 1日目」の問題研究がテーマです。
1日目の大問1～4までは、
大問1～3は正解しておきたい問題、
大問4は残った時間で手をつけておきたい問題でした。
大問5以降はどうだったのでしょうか？
早速、見ていきたいと思います。
大問5
整数を、素数の積として表すことを考えます。例えば12は2×2×3と3個の素数の積として、また1000は2×2×2×5×5×5と6個の素数の積として表されます。1から1000までの整数で7個以上の素数の積として表される整数全部のうち、小さい方から5番目のものは①□、最も大きいものは②□です。
ただし、1とその数のほかに約数がない整数を素数といいます。1は素数に含めません。
一番小さい整数は、2×2×2×2×2×2×2＝128 とわかりますから、
5番目までならばあまり時間をかけなくても調べられそうですね。
2を6回かけて、あと1つ素数をかける場合は
2×2×2×2×2×2×2＝128 …最小
2×2×2×2×2×2×3＝192 …2番目
2×2×2×2×2×2×2×2＝256 …3番目
2×2×2×2×2×2×5＝320 …5番目
2×2×2×2×2×2×7＝448 …7番目
…
2を5回かけて、あと2つ2以外の素数をかける場合は
2×2×2×2×2×3×3＝288 …4番目
2×2×2×2×2×3×5＝480 …8番目
…
2を4回かけて、あと3つ2以外の素数をかける場合は
2×2×2×2×3×3×3＝432 …6番目
…
なので、①の答えは320です。
最も大きい整数はこの逆で解けば…と考えられそうです。
まず、試しに3を7回かけてみると、
3×3×3×3×3×3×3＝2187
で、1000より大きいのであてはまりません。
そこで、「×3」を「×2」に1つ変えると2/3倍なので、
まだ1000より大きいままです。
ですから、「×3」を2つ、「×2」に変えると
3×3×3×3×3×2×2＝972
で、1000以下になりました。
1000＝2×2×2×5×5×5＝2×2×250
972 ＝2×2×3×3×3×3×3＝2×2×243
ですから、
□＝2×2×（244以上249以下で5つ以上の素数の積になる整数）
となる整数があれば、それが②の答えです。
6通りしかないので調べてみましょう。
244＝2×2×61
245＝5×7×7
246＝2×3×41
247＝13×19
248＝2×2×2×31
249＝3×83
なので、あてはまる整数はありません。
ということは、972が最大とわかるので、972が②の答えです。
①は見落としやすそうですし、
②は「素数が7つ以上」という条件が気になってしまい、
調べ尽くしているかどうか、自信が持てない問題ですね。
あとまわしにすると良い問題です。
ただ、前問（大問4）が調べる問題でしたので後回しにしていたとすると、
「2問続けて後回し」ということになってしまい、
受験生には心理的に負担がかかる問題です。
テスト用紙全体をざっと見て
「おっ、後半の図形問題は何となく取り組みやすそうだ…」
と思えれば、
2問とも後に回すことも可能です。
灘中の図形問題は、
3問中2問（または2問中1問）は取り組みやすい問題であることが多いので、
「試験が始まれば、まずテスト用紙全体に目を通す」
ということが有効ですね。
では次に、その図形問題の1つ目、大問6をみていきます。
大問6
右の図のように、面積が18cm2の正六角形ABCDEFの内部に点Gをとり、6つの頂点とGをそれぞれ直線で結びます。3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は①□cm2です。また、3点C、G、Eと3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は②□cm2です。
問題文の指示通りに図を書いてみましょう。
「3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるとき」
という図を書くと、
です。
考えやすいように、図を回転させると
18cm2×1/6×3/2＝4.5cm2です。
考えやすい向きに図を回転させるという手法は、
図形が苦手なお子さんにお勧めです。
見慣れた形の方が考えやすく、お子さんの負担軽減につながるからです。
②も問題文の指示通りに図を書いてみます。
①が正解できれば、同じ解法が使えることに気づけますね。
18cm2×1/6×5/3＝5cm2です。
大問5に比べると、時間を必要としない、とても平易な問題です。
灘中の1日目の図形問題には、このような「サービス問題」もありますから、
大問5を後回しにして、時間のかからない、
そして比較的解きやすい問題を見つけて先に解いていく
という取り組み方を使えるようになっているといいですね。
今回も前回に引き続き「灘中 2014年 1日目」の問題研究がテーマです。
1日目の大問1～4までは、
大問1～3は正解しておきたい問題、
大問4は残った時間で手をつけておきたい問題でした。
大問5以降はどうだったのでしょうか？
早速、見ていきたいと思います。
大問5
整数を、素数の積として表すことを考えます。例えば12は2×2×3と3個の素数の積として、また1000は2×2×2×5×5×5と6個の素数の積として表されます。1から1000までの整数で7個以上の素数の積として表される整数全部のうち、小さい方から5番目のものは①□、最も大きいものは②□です。
ただし、1とその数のほかに約数がない整数を素数といいます。1は素数に含めません。
一番小さい整数は、2×2×2×2×2×2×2＝128 とわかりますから、
5番目までならばあまり時間をかけなくても調べられそうですね。
2を6回かけて、あと1つ素数をかける場合は
2×2×2×2×2×2×2＝128 …最小
2×2×2×2×2×2×3＝192 …2番目
2×2×2×2×2×2×2×2＝256 …3番目
2×2×2×2×2×2×5＝320 …5番目
2×2×2×2×2×2×7＝448 …7番目
…
2を5回かけて、あと2つ2以外の素数をかける場合は
2×2×2×2×2×3×3＝288 …4番目
2×2×2×2×2×3×5＝480 …8番目
…
2を4回かけて、あと3つ2以外の素数をかける場合は
2×2×2×2×3×3×3＝432 …6番目
…
なので、①の答えは320です。
最も大きい整数はこの逆で解けば…と考えられそうです。
まず、試しに3を7回かけてみると、
3×3×3×3×3×3×3＝2187
で、1000より大きいのであてはまりません。
そこで、「×3」を「×2」に1つ変えると2/3倍なので、
まだ1000より大きいままです。
ですから、「×3」を2つ、「×2」に変えると
3×3×3×3×3×2×2＝972
で、1000以下になりました。
1000＝2×2×2×5×5×5＝2×2×250
972 ＝2×2×3×3×3×3×3＝2×2×243
ですから、
□＝2×2×（244以上249以下で5つ以上の素数の積になる整数）
となる整数があれば、それが②の答えです。
6通りしかないので調べてみましょう。
244＝2×2×61
245＝5×7×7
246＝2×3×41
247＝13×19
248＝2×2×2×31
249＝3×83
なので、あてはまる整数はありません。
ということは、972が最大とわかるので、972が②の答えです。
①は見落としやすそうですし、
②は「素数が7つ以上」という条件が気になってしまい、
調べ尽くしているかどうか、自信が持てない問題ですね。
あとまわしにすると良い問題です。
ただ、前問（大問4）が調べる問題でしたので後回しにしていたとすると、
「2問続けて後回し」ということになってしまい、
受験生には心理的に負担がかかる問題です。
テスト用紙全体をざっと見て
「おっ、後半の図形問題は何となく取り組みやすそうだ…」
と思えれば、
2問とも後に回すことも可能です。
灘中の図形問題は、
3問中2問（または2問中1問）は取り組みやすい問題であることが多いので、
「試験が始まれば、まずテスト用紙全体に目を通す」
ということが有効ですね。
では次に、その図形問題の1つ目、大問6をみていきます。
大問6右の図のように、面積が18cm2の正六角形ABCDEFの内部に点Gをとり、6つの頂点とGをそれぞれ直線で結びます。3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は①□cm2です。また、3点C、G、Eと3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるときは三角形ABGの面積は②□cm2です。
問題文の指示通りに図を書いてみましょう。
「3点B、G、Eと、3点D、G、Fがそれぞれ一直線上にあるとき」
という図を書くと、
です。
考えやすいように、図を回転させると
18cm2×1/6×3/2＝4.5cm2です。
考えやすい向きに図を回転させるという手法は、
図形が苦手なお子さんにお勧めです。
見慣れた形の方が考えやすく、お子さんの負担軽減につながるからです。
②も問題文の指示通りに図を書いてみます。
①が正解できれば、同じ解法が使えることに気づけますね。
18cm2×1/6×5/3＝5cm2です。
大問5に比べると、時間を必要としない、とても平易な問題です。
灘中の1日目の図形問題には、このような「サービス問題」もありますから、
大問5を後回しにして、時間のかからない、
そして比較的解きやすい問題を見つけて先に解いていく
という取り組み方を使えるようになっているといいですね。
