「第７６５回　共学中の入試問題　比と割合 １」

ここまで、近年に共学中の入試で出された「数の性質」について考えてきました。

今回からは「比と割合」をテーマとする問題を取り扱っていきます。

その１回目は「相当算」と「倍数算」です。

１問目は相当算の基本問題です。

【問題】次の□の中に適当な数を入れなさい。

太郎君は、所持金の２/９より８０円多い金額でノートを買い、次に残りの所持金の２/３より２０円少ない金額でペンを買ったところ、１８０円残りました。太郎君が買ったノートの値段は□円です。

（慶應義塾中等部　２０２５年　問題２－（１））

【考え方】

条件は、次のような線分図に整理できます。

★に着目すると、

１８０円－２０円＝１６０円

が、ノートを買った残りの所持金の

１－２/３＝１/３

にあたるとわかります。

１６０円÷１/３＝４８０円　…　ノートを買った残りの所持金

さらに、☆に着目すると、

４８０円＋８０円＝５６０円

が、はじめの所持金の

１－２/９＝７/９

にあたることもわかります。

５６０円÷７/９＝７２０円　…　はじめの所持金

よって、ノートの値段は

７２０円×２/９＋８０円＝２４０円

です。

答え　２４０円

本問は、「比と割合の３公式」を使って解く基本レベルの問題です。

正解できないようでしたら、線分図の書き方や読み取り方や（比べる量）÷（割合）＝（元にする量）が正しく使えることを確認しましょう。

２問目も相当算の基本問題です。

【問題】次の□にあてはまる数を求めなさい。

落とした高さの３/４だけはね上がるボールがあります。このボールを□㎝の高さから落としたとき、１回目と３回目にはね上がった高さの差は１０５㎝です。

（中央大学附属横浜中学校　第１回　２０２５年　問題１－（５））

【考え方】

ボールがはねる様子は、次のように表せます。

１回目にはね上がった高さを１とすると、２回目にはね上がった高さは

１×３/４＝３/４、

３回目にはね上がった高さは

３/４×３/４＝９/１６

です。

図より、１０５㎝が

１－９/１６＝７/１６

にあたりますので、１回目にはね上がった高さ（＝１）は

１０５㎝÷７/１６＝２４０㎝

です。

これがはじめに落とした高さの３/４倍ですから、

□㎝×３/４＝２４０㎝　→　□＝２４０÷３/４＝３２０

です。

答え　３２０

本問は、「割合×割合」を使って解く問題です。

解答例では１回目にはね上がった高さを１としましたが、問題文中の□㎝をそのまま利用して、１回目にはね上がる高さを（□×３/４）㎝、３回目にはね上がる高さを（□×３/４×３/４×３/４）㎝と表して、

（□×３/４）㎝－（□×３/４×３/４×３/４）㎝＝１０５㎝　→　□＝１０５÷（３/４－２７/６４）＝３２０

のように求めることもできます。

また、連比を使って考えてもよいでしょう。

１０５×６４/（４８－２７）＝３２０

３問目は相当算の応用問題です。

【問題】次の□にあてはまる数を求めなさい。

Ｍさんは３日間で算数の問題集をすべて解きます。１日目は全体の１/４よりも３題少なく解き、２日目は残りの１/３よりも５題多く解き、３日目は２日目に解いた問題数の４/５よりも９題多く解くと、ちょうど解き終わりました。この問題集は全部で□題あります。

（明治大学付属明治中学校　２０２５年　問題１－（４））

【考え方】

条件は、次のような線分図に整理できます。

２日目に解いた問題数は（１日目の残りの１/３＋５題）ですから、その４/５は

（１日目の残りの１/３＋５題）×４/５

＝１日目の残りの１/３×４/５＋５題×４/５

＝１日目の４/１５＋４題

です。

よって、

（１日目の残り）＝９題＋４題＋（１日目の残りの４/１５）＋５題＋（１日目の残りの１/３）

ですから、１日目の残りは

（９題＋４題＋５題）÷（１－４/１５－１/３）＝４５題

です。

図より、

４５題－３題＝４２題

が、問題集全体の

１－１/４＝３/４

にあたりますから、問題集全体は

４２題÷３/４＝５６題

です。

答え　５６

本問は、分配のきまりを利用して解く相当算の応用問題です。

基本問題よりも難しいと思いますが、「分配のきまりを利用する問題もある」ということを知っておくと、類題を解くときに気づきやすくなると思います。

４問目は倍数算の問題です。

【問題】□にあてはまる数を入れなさい。

Ａ、Ｂ、Ｃの３人にみかんを配りました。ＡとＢのもらったみかんの個数の比は１０：９でしたが、ＡがＢに１３個のみかんをあげたので、ＡとＢのみかんの個数の比は３：４、ＢとＣのみかんの個数の比は２：１になりました。みかんの個数は全部で□個です。

（青山学院中等部　２０２５年　問題６）

【考え方】

条件は、次のような流れ図と連比に整理できます。

図の赤線で囲まれた部分は「ＡとＢの間のやりとり」ですから、ＡとＢのみかんの個数の和は変化しません。

そこで、和を１６と７の最小公倍数である１３３□にそろえます。

図より、

６３□＋１３個＝７６□　→　１□＝１３個÷（７６－６３）＝１個

とわかります。

よって、やりとり後のＡのみかんの個数は

１個×５７＝５７個、

やりとり後のＢのみかんの個数は

１個×７６＝７６個

です。

また、やりとり後のＢとＣのみかんの個数の比が２：１ですから、Ｃのみかんの個数は

７６個÷２＝３８個

です。

５７個＋７６個＋３８個＝１７１個

答え　１７１

本問は、やりとりをしても和が変化しないことを利用して解く倍数算です。

登場人物が３人いることで「和が変化しない倍数算」が含まれていることに気づけないようでしたら、解答例のような流れ図に整理できることを確認しましょう。

最後も倍数算の問題です。

【問題】次の□の中に適当な数を入れなさい。

姉と妹のはじめの所持金の比は３：２でしたが、姉は４００円使い、妹は２７０円もらったので、姉と妹の所持金の比は２：９になりました。姉のはじめの所持金は□円です。

（慶應義塾中等部　２０２５年　問題２－（３））

【考え方】

条件は、次のように整理できます。

図より、「やりとり（和が変化しない）」でも「同量の増加または減少（差が変化しない）」でもない「倍数変化算」とわかりますので、姉のはじめの所持金を③円として、比例式を作ります。

（③円－４００円）：（②円＋２７０円）＝２：９

（③円－４００円）×９＝（②円＋２７０円）×２

㉗円－３６００円＝④円＋５４０円

①円＝（３６００円＋５４０円）÷（２７－４）＝１８０円

よって、姉のはじめの所持金は

１８０円×３＝５４０円

です。

答え　５４０

本問は、比例式を利用して解く倍数変化算です。

倍数変化算は倍数算の応用ともいえる問題ですが、本問はその中では基本レベルの問題です。

正解できないようでしたら、分配のきまりを利用して比例式を解くことを確認しましょう。

なお、次のように消去算として解く方法もあります。

今回は、２０２５年度に共学中で出された「相当算」と「倍数算」の問題をご紹介しました。

（元にする量）×（割合）＝（比べる量）などの「比と割合の３公式」、線分図や流れ図を使った整理方法はこれからもいろいろな問題で利用しますから、正解できない問題があればどの部分で間違っているかをチェックし、適切な整理方法や正しい使い方をマスターできるように練習をしましょう。