「第５７９回　女子中の入試問題　平面図形 ５」

近年の女子中の入試で出された「平面図形」の中から「辺の比と面積比」について考えています。

今回は、正方形や長方形などの四角形と面積の比がテーマとなっている問題を見ていきます。

１問目は、２０２２年度の入試で出された問題です。

【問題】下の図の四角形ＡＢＣＤは長方形で、ＥＦ、ＧＨは長方形の縦の辺に、ＩＪは横の辺にそれぞれ平行です。また、長方形ＡＢＨＧの対角線ＢＧは、ＥＦとＩＪの交点Ｋを通ります。四角形ＡＩＫＥが正方形で、長方形ＫＦＨＬと長方形ＧＬＪＤの面積の比が１：３、ＬＨとＬＪの長さの比が４：９です。次の問いに答えなさい。

（１）正方形ＡＩＫＥと長方形ＫＦＨＬの面積の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）正方形ＡＩＫＥの面積が２４㎠のとき、長方形ＡＢＣＤの面積を答えなさい。

（浦和明の星女子中学校　２０２２年　問題１－（７））

【考え方】

（１）

長方形ＡＢＨＧの部分だけを抜き出すと「見やすい」です。

対角線ＢＧは３つの長方形ＡＢＨＧ、ＩＢＦＫ、ＥＫＬＧの面積をそれぞれ２等分します。

図より、

正方形ＡＩＫＥの面積＝☆－（★＋◎）

長方形ＫＦＨＬの面積＝☆－（★＋◎）

なので、正方形ＡＩＫＥの面積と長方形ＫＦＨＬの面積は同じです。

答え　１：１

（２）

はじめに与えられている数値を図に書きこみます。

上の図で、ＫＬとＧＬの長さの比は面積の比÷辺の比より、

（１÷４）：（３÷９）＝③：④

とわかります。

面積比　正方形ＡＩＫＥ：長方形ＫＦＨＬ＝１：１

横の長さの比　ＩＫ：ＫＬ＝④：③

↓

縦の長さの比　ＡＩ：ＨＬ＝（１÷④）：（１÷③）＝３：４

ＡＩ＝ＩＫ＝１２□として、各辺の長さを□で表します。（比合わせ）

正方形ＡＩＫＥの面積：長方形ＡＢＣＤの面積

＝１２×１２：２８×５７

＝１２：１３３

２４㎠×１３３／１２＝２６６㎠

答え　２６６㎠

本問は、辺の長さの比の積が面積の比になることを利用して解く問題でした。

なお、上記の他に高さが等しい四角形の面積比を利用した解き方もあります。

２問目は正方形と直角二等辺三角形に関する問題です。

【問題】次の問いに答えなさい。

（１）図１のように、一辺の長さが４㎝の正方形Ｘと、一辺の長さが５㎝の正方形Ｙがあり、それぞれに２本の対角線を引いてあります。

①　図２において、正方形Ｘの影の部分と正方形Ｙの影の部分の面積の比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

②　図３において、正方形Ｘの影の部分と正方形Ｙの影の部分の面積の比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（２）図４のように、２つの直角二等辺三角形ＡＢＣ、ＤＥＦがあります。三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦの面積の比は１８：２５です。

①　ＡＢとＤＦの長さの比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

②　ＡＣとＤＥの長さの比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（３）図５のように、２つの直角二等辺三角形ＡＢＣ、ＡＤＥがあります。三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥの面積の比は２５：９８です。ＡＢとＡＥの長さの比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（４）図６のように、２つの直角二等辺三角形ＡＢＣ、ＡＤＥがあります。三角形ＢＥＦを三角形ＤＦＣの面積の比は４９：５０です。

①　ＡＢとＢＥの長さの比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

②　三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥの面積の比をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（吉祥女子中学校　２０２１年　問題４）

【考え方】

（１）－①

４×４÷２：５×５÷４

＝３２：２５

答え　３２：２５

（１）－②

４×４÷４：５×５÷２

＝８：２５

答え　８：２５

（２）－①

三角形ＡＢＣの面積の２倍の正方形と三角形ＤＥＦの面積の４倍の正方形で考えます。

ＡＢ×ＡＢ：ＤＦ×ＤＦ

＝１８×２：２５×４

＝９：２５

ＡＢ：ＤＦ＝３：５

答え　３：５

（２）－②

三角形ＡＢＣの面積の４倍の正方形と三角形ＤＥＦの面積の２倍の正方形で考えます。

ＡＣ×ＡＣ：ＤＥ×ＤＥ

＝１８×４：２５×２

＝３６：２５

ＡＢ：ＤＦ＝６：５

答え　６：５

（３）

ＥからＡＤに垂直な直線ＥＦを引きます。

三角形ＡＢＣと三角形ＡＥＦは相似で面積の比が

２５：（９８÷２）

＝２５：４９

ですから、相似比ＡＢ：ＡＥは５：７です。

答え　５：７

（４）－①

ＤからＢＣに垂直な直線ＤＧを引きます。

三角形ＢＥＦと三角形ＧＤＦは相似で面積の比が

４９：（５０÷２）

＝４９：２５

ですから、相似比ＢＦ：ＧＦは７：５です。

ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＦ＋ＦＧ＋ＧＣ＝７＋５＋５＝１７

ＢＥ＝ＢＦ＝７

より、

ＡＢ：ＢＥ＝１７：７

答え　１７：７

（４）－②

ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ＝１７＋７＝２４

より、

ＤＨ＝２４÷２＝１２

三角形ＡＢＣの面積：三角形ＡＤＥの面積

＝１７×１７÷２：２４×１２÷２

＝２８９：２８８

答え　２８９：２８８

本問は、小問（１）（２）で正方形と直角二等辺三角形の関係を確認することで、（３）（４）の補助線が見つけられる問題でした。

今回は、近年の女子中の入試で出された、四角形と面積比に関する問題をご紹介しました。

ひとつひとつの小問は決して難しくありませんが大問形式で出題されていますので、「この問題に用いる解法（知識）が何かを自分で見つける」練習にはとてもよい問題だと思います。

平面図形の一行問題ができるようになりましたら、今回のような大問形式の問題を用いて「解法を頭の中から引っ張り出す」練習に取り組んでみるとよいと思います。