「第５６９回　女子中の入試問題　速さ　２」

前回から、２０２１年度に女子中の入試で出された「速さ」について見ています。

今回は「旅人算」に関する大問形式の問題を取り上げます。

【問題】姉と妹は家から３.２ｋｍ離れた駅まで徒歩で往復しました。姉が妹より５分遅れて出発したところ、妹が駅に到着する前に、駅から３００ｍの地点で妹に追いつきました。また、姉が家に戻ったときには、妹はまだ家から７００ｍの地点にいました。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）姉と妹の歩く速さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）姉の歩く速さは毎分何ｍですか。

（白百合学園中学校　２０２１年　問題１）

【考え方】

距離の条件（３つ）が時間の条件（１つ）よりも多い問題ですから、線分図で条件を整理することにします。

（１）上の線分図の赤色点線で囲まれた部分に着目すると、姉が

３００ｍ＋３２００ｍ＝３５００ｍ

進む間に、妹は

３５００ｍ－７００ｍ＝２８００ｍ

進むことがわかります。

同じ時間に進む距離の比は速さの比と同じですから、

３５００：２８００＝５：４

が答えです。

答え　５：４

（２）線分図を用いて問題を解くときの方針は、

①　→に距離を書く

②　→に距離の比を書く

ですから、（１）でわかった「同じ時間に進む距離の比は５：４」を書きこみます。

⑤＝３２００ｍ－３００ｍ＝２９００ｍ

①＝２９００ｍ÷５＝５８０ｍ　…　妹が５分間で進む距離

５８０ｍ÷５分＝１１６ｍ/分　…　妹の速さ

１１６ｍ/分×５/４＝１４５ｍ/分

答え　毎分１４５ｍ

本問は、線分図の「同時マーク（同じ時刻にいる場所を表すマーク）」に着目して距離の比を読み取ったり、書いたりできるかが確認できる問題です。

●～○は姉も妹も進む時間が同じ区間なので、そこで「距離の比＝速さの比」が利用できたかを確認してみましょう。

では、次の問題です。

【問題】兄と弟が同時に地点Ａを出発し、地点Ｂまで８００ｍの直線コースをそれぞれ一定の速さで走って往復しました。グラフは２人が出発してからの時間と、２人の地点Ａからの距離の関係を表したものです。次の問いに答えなさい。

（１）兄の走る速さは、時速何ｋｍですか。

（２）兄がＢ地点に着いたとき、弟は地点Ａから何ｍの地点にいますか。

（３）出発後に初めて２人が出会うのは、２人が出発してから何分後ですか。

（４）２人が出発してから弟が地点Ａにもどるまでの、２人の間の距離を表すグラフを、下のグラフの図にかきなさい。ただし、図には参考として、２人が出発してからの時間と、２人の地点Ａからの距離の関係を表したグラフがかかれています。

（学習院女子中等科　２０２１年　問題４）

【考え方】

（１）グラフより、兄は６分でＡＢ間を１往復したことがわかります。

６分÷２＝３分　…　兄が８００ｍを走る時間

８００ｍ÷３分＝８００/３ｍ/分　…　兄の速さ

８００/３ｍ/分×６０÷１０００＝１６ｋｍ/時

答え　時速１６ｋｍ

（２）グラフより、弟は４分でＡからＢまでの８００ｍを走ったことがわかります。

８００ｍ÷４分＝２００ｍ/分　…　弟の速さ（時速１２ｋｍ）

兄が地点Ｂに着いたのは出発してから３分後ですから、そのとき弟は地点Ａから

２００ｍ/分×３分＝６００ｍ

の地点にいます。

答え　６００ｍ

（３）２人のグラフが交わる点が２人が出会ったところです。

ここからは、次のようにダイヤグラム解法でも線分図解法でも解くことができます。

答え　３ ３/７分後

（４）（２）より、３分後に２人の間の距離が

８００ｍ－６００ｍ＝２００ｍ

になることがわかっています。

その後は姉が走る向きを変えるために２人の間の距離は縮まっていき、（３）で求めた３ ３/７分後に２人が出会うので、その距離が０ｍとなります。

さらに２人が出発してから４分後に妹が地点Ｂについたとき、姉は

８００/３ｍ/分×（４分－３分）＝８００/３ｍ

だけ妹の先にいます。

そして２人が出発してから６分後に姉が地点Ａにもどったとき、妹は地点Ａまであと

８分－６分＝２分

のところにいますから、２人の間の距離は

２００ｍ/分×２分＝４００ｍ

あり、その２分後に妹が地点Ａにもどって２人の間の距離が０ｍとなります。

答え　

本問は、（１）、（２）、（４）がグラフの読み取り力、（３）はダイヤグラムの５原則の確認ができる問題でした。

特に（４）は、進む向きが変わった後や一方が先に目的地に着いた後の２人の間の距離の変化を読み取る大切な問題です。

今回は、２０２１年度に女子中の入試で出された「旅人算」の大問形式の問題についてみてきました。

大問形式の問題が苦手なときは、前回ご紹介した「一行問題」や今回の問題などの線分図やグラフを自分で書くことができるかチェックして、どの部分を強化すればよいかを見つけていきましょう。