「第５７５回　女子中の入試問題　平面図形　１」

近年の女子中の入試問題について見てきています。

前回までは「速さ」について考えましたが、今回からは「平面図形」の問題を取り扱っていきます。

１回目のテーマは「角の大きさ」です。

【問題】下の図で、半円上にある点は半円の弧を６等分する点です。このとき、印をつけた角の大きさは何度ですか。

（吉祥女子中学校　２０２１年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

半円を用いた「円問題」です。

円問題の基本

円周上の点と円の中心を結ぶ　→　二等辺三角形やおうぎ形ができる

次の図のように、半円の中心Ｏと円周上の点Ｑ、Ｒを結びます。

図の中に、二等辺三角形ＯＡＱ、ＯＢＲができます。

１８０度÷６＝３０度

３０度×２＝６０度　…　角ＡＯＱ

（１８０度－６０度）÷２＝６０度　…　○

３０度×３＝９０度

（１８０度－９０度）÷２＝４５度　…　×

１８０度－（６０度＋４５度）＝７５度

答え　７５度

本問は「円問題」の補助線がマスターできているかを確認できる問題でした。

補助線は、「円の中心と結ぶと二等辺三角形ができる」のように目的とセットで覚えておくと、補助線を引いた後の着目点に気づきやすくなります。

では、２問目です。

【問題】下の図のように正九角形の対角線を２本ひきました。角xの大きさは何度ですか。

（品川女子学院中等部　２０２１年　問題３－（４）　問題文一部変更）

【考え方】

正多角形が円にピッタリと入る（「内接する」と言います）ことが利用できます。

円がでてきましたから、前問と同じように円周上の点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄと中心Ｏを結んでみます。

二等辺三角形ＯＡＢに着目します。

３６０度÷９＝４０度

４０度×４＝１６０度　…　角ＡＯＢ

（１８０度－１６０度）÷２＝１０度　…　角ＯＡＢ

二等辺三角形ＯＣＤに着目します。

４０度×３＝１２０度

（１８０度－１２０度）÷２＝３０度　…　角ＯＣＤ

ブーメラン四角形ＯＡＣＰに着目します。

８０度＋１０度＋３０度＝１２０度　…　角ＡＰＣ

１８０度－１２０度＝６０度

答え　６０度

（別解）…□角形の内角の和＝１８０度×（□－２）の利用

１８０度×（９－２）÷９＝１４０度　…　正九角形の１つの内角の大きさ

｛１８０度×（５－２）－１４０度×３｝÷２＝６０度　…　●

１４０度－６０度＝８０度　…　○

（３６０度－１４０度×２）÷２＝４０度　…　△

１８０度－（８０度＋４０度）＝６０度

本問は、正多角形が円に内接することを利用すると、「円問題」として考えることができますし、別解のように、□角形の内角の和の公式を用いても解くことができる問題です。

いずれの知識も、角の大きさの問題を解く上では大切ですから、もし正解できなかったときはよく復習しましょう。

最後に、もう１問見ていきます。

【問題】下の図は長方形の紙を折り返したものです。印をつけた角の大きさは何度ですか。

（東洋英和女学院中学部　２０２１年　問題３－（２）　問題文一部変更）

【考え方】

最後は「折り返し」の問題です。

折り返しの基本

折り返した図形はもとの図形と合同

はじめに長方形の向かい合う辺が平行であることを利用します。

次に、折り返した図形はもとの図形と合同ですから、

１８０度－７２度＝１０８度　…　●

１０８度－７２度＝３６度　…　○

とわかります。

１８０度－（９０度＋３６度）＝５４度

答え　５４度

（別解）

折り返した図形がもとの図形と合同であることをはじめに利用し、下の図のように時計回りに考えていくこともできます。

本問は、折り返しの基本問題です。

折り返した図形が合同であることや平行線と角の関係が身についているか、このような問題で確認しておきましょう。

今回は、近年の女子中の入試で出題された平面図形の１回目として、角の大きさに関する基本的な問題をご紹介しました。

このような問題に取り組んで基本の解き方をマスターし、大問形式の問題でも正解が増やせるといいですね。