「第５８５回　女子中の入試問題　立体図形 ４」

これまで、２０２１年度、２０２２年度の中学入試問題の中から、女子中で出された「立体図形」の問題を見てきています。

今回取り扱うテーマは「立体図形の切断」です。

１問目は、立方体の切断です。

【問題】（２）（３）について、解答用紙に途中の計算や考えた過程をかきなさい。図の立体は１辺６㎝の立方体です。この立方体を点Ａ、点Ｂ、点Ｃを通るような平面で切断しました。

（１）切断面の図形を最もふさわしい名前で答えなさい。

（２）切断されてできた２つの立体のうち、小さい方の立体の体積は何㎤ですか。

（３）切断されてできた２つの立体について、大きい方の立体の表面積と小さい方の立体の表面積の差は何㎠ですか。

（品川女子学院中等部　２０２２年　問題５）

【考え方】

（１）

「切断の３原則」に従って作図をします。

切断の３原則は次の通りです。

①同じ面にある２点を結ぶ。

②平行に向かい合う面の切り口は平行になる。

③延長する。

はじめに切断の３原則①に従い、ＡとＢ、ＡとＣを結びます。

次に切断の３原則②を利用します。

立方体の手前の面と奥の面は平行ですから、手前の面の切り口ＡＣと平行な直線をＢから奥の面に引きます。

このとき、正面から見た図（投影図）を先にかくと、切り口（ＢＤ）がどのようになるかがわかります。

最後に切断の３原則①に従ってＣとＤを結ぶと作図は完成です。

切断の３原則②より、向かい合う面の切り口ＡＢとＣＤ、ＡＣとＢＤはそれぞれ平行ですから、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形です。

さらに、三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＱに着目します。

三角形ＡＢＰと三角形ＡＣＱは合同な直角三角形ですから、ＡＢ＝ＡＣです。

従って、四角形ＡＢＣＤはひし形とわかります。

答え　ひし形

（２）

（１）の作図から、切断面より下側の立体が体積の小さい方の立体とわかります。

この立体は、底面が１辺６㎝の正方形、高さ４㎝の直方体を半分に切ったものです。

６㎝×６㎝×４㎝÷２＝７２㎤

答え　７２㎤

（３）

２つの立体の表面積のうち、切断面（水色斜線）の面積と上下の正方形（赤線）の面積はそれぞれ同じですから、表面積の差は側面積の差に等しいことがわかります。

そこで元の立方体の側面の展開図をかきます。

上の図より、２つの立体の表面積の差（展開図の赤線の上側と下側の差）は

２㎝×２４㎝＝４８㎠

と求められます。

答え　４８㎠

本問は、重要な「切断の３原則」のうち、「同じ面にある２点を結ぶ」、「平行に向かい合う面の切り口は平行になる」の２つが確認できる問題でした。

では、もう１問見ていきます。

【問題】図のような立方体があります。この立方体を点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ります。ただし、点Ｐ、Ｑ、Ｒは、立方体の辺をそれぞれ２等分する点です。このとき、切り口の面積は、正三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。答えを出すために必要な式、図、考え方なども書きなさい。

（鷗友学園女子中学校　２０２１年　問題４）

【考え方】

はじめに切断の３原則「同じ面にある２点を結ぶ」に従い、ＰとＱ、ＰとＲを結びます。

切断の３原則の「同じ面にある２点を結ぶ」、「平行に向かい合う面の切り口は平行になる」が利用できませんので、「延長する」を使います。

ＰＱ、ＰＲのどちらを延長しても構いません。

ここではＰＱを延長してみます。

ＰＱをＱ側に延長する場合、元の立方体の右隣に「もう１個立方体をくっつける」と作図がしやすくなります。

上の図で、赤色斜線の三角形は合同ですから、点Ｓも立方体の辺を２等分する点であることに気をつけます。

次に、元の立方体の上下の面が平行ですから、切断の３原則「平行に向かい合う面の切り口は平行になる」を利用して、Ｓからの切り口を作図します。

上の図で、赤色斜線の三角形は合同ですから、２点Ｔ、Ｕも立方体の辺を２等分する点です。

さらに、元の立方体の前後の面が平行ですから、切断の３原則「平行に向かい合う面の切り口は平行になる」を利用して、Ｕからの切り口を作図します。

三角形ＢＵＶと三角形ＣＳＱは合同ですから、点Ｖも立方体の辺を２等分する点です。

最後に、切断の３原則「同じ面にある２点を結ぶ」に従ってＱとＴ、ＡとＶを結ぶと、切り口が正六角形になっていることがわかります。

求めるのは「切り口の面積÷正三角形ＡＢＣの面積」ですから、正三角形ＡＢＣを上の図と並べてみます。

図より、切り口の面積は三角形ＱＴＳの６倍、正三角形ＡＢＣの面積は三角形ＱＴＳの４倍とわかります。

６÷４＝１.５（倍）

答え　１.５倍

本問は、重要な「切断の３原則」のうち、「延長する」が確認できる問題でした。

今回は、近年の女子中で出された入試問題の中から「立体図形の切断」をご紹介しました。

立体図形の切断では、切断の３原則と見取り図、投影図を利用すると考えやすくなります。

また、図をかくときには合同や相似を利用し、切り口が通過する位置がどこなのかも大切です。

立体図形の切断を習い終えていれば今回見たような基本レベルの問題を用いて、知識や解法の確認をしてみるとよいと思います。