「第６０５回　共学中の入試問題　数と計算 ８」

２０２２年度の共学中入試の中から「数と計算」の問題を見てきています。

今回は「約束記号」と「数の操作」を取り扱います。

１問目は「約束記号」の問題です。

【問題】整数ｘに対して、ｘ自身とｘの各位の数の和を【ｘ】と表すことにします。例えば、【１２３】＝１２３＋１＋２＋３＝１２９です。

（１）【２０２２】を求めなさい。

（２）【【４５６】÷３】を求めなさい。

（３）【Ａ】＋１＝２０２２となる数Ａは２０１４以外にもう１つあります。その数を求めなさい。

（三田国際学園中学校　２０２２年　問題２）

【考え方】

（１）

２０２２＋２＋０＋２＋２＝２０２８

答え　２０２８

（２）

【４５６】＝４５６＋４＋５＋６＝４７１

【４７１÷３】＝【１５７】＝１５７＋１＋５＋７＝１７０

答え　１７０

（３）

数Ａの千の位の数をＰ、百の位の数をＱ、十の位の数をＲ、一の位の数をＳとすると、

Ａ＝１０００×Ｐ＋１００×Ｑ＋１０×Ｒ＋１×Ｓ

と表せます。

【Ａ】＋１

＝１０００×Ｐ＋１００×Ｑ＋１０×Ｒ＋１×Ｓ＋Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋Ｓ＋１

＝１００１×Ｐ＋１０１×Ｑ＋１１×Ｒ＋２×Ｓ＋１＝２０２２

Ｑは０以上９以下の整数ですから１０１×Ｑは０以上９０９以下、Ｒは０以上９以下の整数ですから１１×Ｒは０以上９９以下、Ｓは０以上９以下の整数ですから２×Ｓは０以上１８以下です。

従って、１０１×Ｑ＋１１×Ｒ＋２×Ｓ＋１は１以上１０２７以下なので、１００１×Ｐは

２０２２－１０２７＝９９５以上

２０２２－１＝２０２１以下

となり、Ｐは１または２と分かります。

Ｐ＝１のとき

１０１×Ｑ＋１１×Ｒ＋２×Ｓ＋１＝２０２２－１００１＝１０２１

１１×Ｒ＋２×Ｓ＋１は１以上１１８以下なので、１０１×Ｑは

１０２１－１１８＝９０３以上

１０２１－１＝１０２０以下

となり、Ｑは９と分かります。

１１×Ｒ＋２×Ｓ＋１＝１０２１－９０９＝１１２

２×Ｓ＋１は１以上１９以下なので、１１×Ｒは

１１２－１９＝９３以上

１１２－１＝１１１以下

となり、Ｒ＝９とわかります。

２×Ｓ＋１＝１１２－９９＝１３

Ｓ＝（１３－１）÷２＝６

以上より、数Ａは１９９６と求められます。

答え　１９９６

本問は、はじめの２問が「約束記号」のルールに基づいた正確な処理、３問目はそのルールの利用と１０進法の数の表し方の理解が問われる問題でした。

２問目は「数の操作」の問題です。

【問題】次のような操作を考えます。

操作：ある数に対して、その数が１０の倍数のときは１０で割り、１０の倍数でないときは３倍して２を加える。

この操作を繰り返し行うとき、次の問いに答えなさい。

（１）（ⅰ）１に対してこの操作を５回行ったあとの数を求めなさい。

（ⅱ）２に対してこの操作を５回行ったあとの数を求めなさい。

（２）１から１００までの数に対してこの操作を行うとき、１０で割るという操作を１回も行わない数は何個ありますか。

（３）１から１００までの数に対してこの操作を行うとき、１０で割るという操作をちょうど１回だけ行う数は何個ありますか。

（市川中学校　２０２２年　問題５）

【考え方】

（１）（ⅰ）

１→５→１７→５３→１６１→４８５

答え　４８５　

（１）（ⅱ）

２→８→２６→８０→８→２６

答え　２６

（２）

その数の一の位の数が０のときに１０で割りますから、操作による一の位の数の変化に着目します。

すると、次の４つのグループに分類することができます。

１０で割るという操作が１回も行われない数は、上のＡ、Ｃ、Ｄのグループの数です。

一の位の数が１、３、４、５、７、９の６通りですから、１以上１００以下の整数は

６個×１０＝６０個

あります。

答え　６０個

（３）

操作を１回しか行わない数は、一の位の数が「０→１、３、４、５、７、９」と変化していく数です。

（２）にあてはまらない１００個－６０個＝４０個の数について調べていきます。

・□２の場合

２→８→２６→８０→８→２６→８０→８→…のように、一の位の数は４回目の操作のあと「８→６→０」を繰り返すので、２は題意にあてはまりません。

はじめの数が１０大きい１２の場合、１回目の操作をすると「２」のときよりも１０×３＝３０大きい３８となり、２回目の操作をすると「２」のときよりも３０×３＝９０大きい１１６となり、３回目の操作をすると「２」のときよりも９０×３＝２７０大きい３５０となりますから、４回目の操作をすると「２」のときよりも２７０÷１０＝２７大きい３５となります。

２２、３２、…、９２の場合も同じように４回目の操作をした後の数は、順に２７ずつ大きくなっていきます。

２７は１０で割ると７余る数ですから、４回目の操作をした後の数の一の位の数は、順に８、５、２、９、６、３、０、７、４、１となります。

従って、はじめの数が□２の場合、一の位の数が「０→１、３、４、５、７、９」と変化していく数は６個あります。

・□８の場合

８→２６→８０→８→２６→８０→８→…のように、一の位の数は３回目の操作のあと「８→６→０」を繰り返すので、８は題意にあてはまりません。

はじめの数が１０増えると、３回目の操作の後の数は１０×３×３÷１０＝９増えます。

９は１０で割ると９余る数なので、３回目の操作をした後の数の一の位の数は、順に８、７、６、５、４、３、２、１、０、９となります。

従って、はじめの数が□８の場合、一の位の数が「０→１、３、４、５、７、９」と変化していく数は６個あります。

・□６の場合

６→２０→２→８→２６→８０→８→…のように、一の位の数が３回目の操作のあと「２→８→６→０」を繰り返すので、６は題意にあてはまりません。

はじめの数が１０増えると、２回目の操作の後の数は１０×３÷１０＝３増えます。

３は１０で割ると３余る数なので、３回目の操作をした後の数の一の位の数は、順に２、５、８、１、４、７、０、３、６、９となります。

従って、はじめの数が□６の場合、一の位の数が「０→１、３、４、５、７、９」と変化していく数は６個あります。

・□０の場合

１０→１→５→１７→５３→１６１→…のように、一の位の数が１回目の操作のあと「１→５→７→３」を繰り返すので、１０はあてはまります。

はじめの数が１０増えると、１回目の操作をした後の数は１０÷１０＝１増えます。１は１０で割ると１余る数なので、１回目の操作した後の数の一の位の数は、順に１、２、３、４、５、６、７、８、９となります。

従って、はじめの数が□０の場合、一の位の数が「０→１、３、４、５、７、９」と変化していく数は６個あります。

以上より、６個×４＝２４個が答えです。

答え　２４個

本問は、（１）でルールの確認作業をしていると、一の位の数が繰り返すことに気付ける問題です。

数の操作の問題は規則性を見つけることがポイントになりますので、（１）のような作業を見やすく書くことが大切です。

今回は、２０２２年度の共学中入試で出された「約束記号」と「数の操作」に関する問題をご紹介しました。

これらの問題では、前半でルールの確認を行い、後半がその応用という構成になることが多いですから、後半の問題の正解を目指していく場合は前半の問題を見やすく書くことが大切です。

ここまで８回にわたって「数と計算」がテーマの問題について考えてきました。次回からは「比と割合」に関する問題を取り扱っていく予定です。