「第６５３回　女子中の入試問題　平面図形 ６」

ここまで、２０２３年度に女子中で出された「平面図形」について考えています。

前回は「正六角形」の問題をみました。

「平面図形」の最終回となる今回は、「移動」がテーマの問題を取り扱います。

１問目は、「回転移動」の少し難しい問題です。

【問題】図のようなＡＢ＝３㎝、ＡＣ＝４㎝の折れ線を、点Ａの周りを反時計回りに９０度回転させ、回転後の点Ｂの周りを反時計回りに９０度回転させました。折れ線が動いてできる図形の面積は何㎠ですか。円周率を用いるときは３.１４として答えなさい。

（大妻中学校　２０２３年　問題１０　問題文一部変更）

【考え方】

条件に従って作図をします。

図形の移動を作図するときは、はじめに図形の各頂点を移動させ、次に移動させた後の頂点を結ぶという手順で行うと正確な図をかくことができます。

回転移動のポイントは、回転の中心から最も遠い点と最も近い点も動きに着目することです。

点Ａを中心に反時計回りに９０度回転させるとき、直線ＡＢについては点Ａから最も遠い点がＢで最も近い点がＡですから赤色のおうぎ形を描き、直線ＡＣについては点Ａから最も遠い点がはＣで最も近い点がＡですから青色のおうぎ形を描きます。

次に点Ｂを中心に反時計回りに９０度回転させるとき、直線ＡＢについては点Ｂから最も遠い点がＡで最も近い点がＢですから赤色のおうぎ形を描き、直線ＡＣについては点Ａから最も遠い点がＣで最も近い点がＡですから青色の図形を描きます。

ですから、求める図形は次の（ア）～（ウ）の３つ図形を合わせたものです。

３㎝×３㎝×３.１４×９０度/３６０度＝９/４㎠×３.１４　…　（ア）

４㎝×４㎝×３.１４×９０度/３６０度＝４㎠×３.１４　…　（イ）

（ウ）は円問題の補助線（半径Ｂ’Ｃ”）を引いた図形式をかくと、半径５㎝のおうぎ形と半径３㎝のおうぎ形の面積の差に等しいことがわかります。

５㎝×５㎝×３.１４×９０度/３６０度－３㎝×３㎝×３.１４×９０度/３６０度＝４㎠×３.１４　…　（ウ）

９/４㎠×３.１４＋４㎠×３.１４＋４㎠×３.１４＝４１/４㎠×３.１４＝３２.１８５㎠

答え　３２.１８５㎠

本問は、図形の回転移動の考え方や作図が確認できる問題です。

「折れ線」を回転させる本問は基本レベルの「三角形の回転移動」よりも難しい問題ですが、考え方や作図の基本は同じです。

正解できないときは「パターンの暗記」になっている可能性がありますので、本来の考え方をチェックしておきましょう。

２問目は、「点の移動と図形の面積」の応用問題です。

【問題】次の図は、正方形から長方形を切り取った図形です。点Ｐは頂点Ｏを出発して毎秒１㎝の速さで、辺上を頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通り頂点Ｄまで進みます。次のグラフは点Ｐが頂点Ｏを出発してからの時間と、三角形ＯＣＰの面積の関係を途中まで表したものです。ただし、三角形ＯＣＰが存在しない場合は面積を０㎠とします。

（１）辺ＯＡ、ＡＢ、ＢＣの長さをそれぞれ求めなさい。

（２）点Ｐが頂点Ｄまで動くときのグラフの続きを完成させなさい。

（３）三角形ＯＣＰの面積が最後に５.５㎠となるのは点Ｐが頂点Ｏを出発してから何秒後か求めなさい。

（湘南白百合学園中学校　２０２３年　問題３）

【考え方】

（１）

グラフが初めて折れ曲がる４秒後は、点Ｐが頂点Ａに着いたときです。

１㎝/秒×４秒＝４㎝　…　辺ＯＡ

４㎝×★㎝÷２＝６㎠　→　★＝３（㎝）

よって、辺ＡＢの長さも３㎝です。

次に６秒後の図をかきます。

１㎝/秒×（６秒－４秒）＝２㎝　…　ＡＰ

３㎝－２㎝＝１㎝　…　ＢＰ

三角形ＡＰＯと三角形ＢＰＣは相似で、相似比は

ＡＰ：ＢＰ＝２：１＝ＡＯ：ＢＣ

です。

ＢＣ＝４㎝×１÷２＝２㎝

答え　辺ＯＡ　４㎝、　辺ＡＢ　３㎝、　辺ＢＣ　２㎝

（２）

（１）より、正方形の１辺の長さは

ＯＡ＋ＢＣ＝４㎝＋２㎝＝６㎝

なので、

ＣＤ＝６㎝－３㎝＝３㎝

です。

点Ｐが頂点Ｂに着く ４秒後＋３㎝÷１㎝/秒＝７秒後、

頂点Ｃに着く ７秒後＋２㎝÷１㎝/秒＝９秒後、

頂点Ｄに着く ９秒後＋３㎝÷１㎝/秒＝１２秒後

の図をかきます。

７秒後

２㎝×３㎝÷２＝３㎠

９秒後

０㎠

１２秒後

３㎝×６㎝÷２＝９㎠

よって、グラフは次のようになります。

答え　（解説のグラフを参照）

（３）

（２）のグラフを利用します。

赤色の三角形は相似で、相似比は

５.５：（９－５.５）＝１１：７＝□：■

です。

□＝（１２秒－９秒）×１１/（１１＋７）＝１１/６（秒）

ですから、三角形ＯＣＰの面積が最後に５.５㎠になるのは

９秒後＋１１/６秒＝６５/６秒後

です。

答え　１０ ５/６秒後（６５/６秒後）

本問は、点の移動と面積の考え方が確認できる問題です。

（１）で、６秒後の三角形ＯＣＰの面積が０㎠になる図をかくことができれば、あとは順に計算していくだけです。

なお、（３）では１秒あたりの面積の変化を求める解き方でも構いません。

今回は、２０２３年度の女子中の入試で出された「移動」に関する問題をご紹介しました。

２問とも基本問題より難しいのですが、解法や考え方、作図などは基本問題と同じものです。

正解できない問題があるときは、「移動」の問題の解法の理由や「どうしてそのように考える（着目する）のか」を、基本問題などの演習を通してきちんと理解するようにしましょう。