「第７２７回　男子中の入試問題　場合の数 ２」

前回から、近年に男子中の入試で出された「場合の数」について考えています。

今回は「ゲーム」をテーマにした問題を取り扱います。

１問目は「さいころ」に関する問題です。

【問題】下の図のように、Ｏを基準として、右に Ｅ１、Ｅ２、Ｅ３、…、左に Ｗ１、Ｗ２、Ｗ３、…、と目盛りをつけました。はじめにＡ君はＯにいます。さいころを投げて、偶数の目が出たらその目の数だけ右へ進みます。また、奇数の目が出たらその目の数だけ左へ進みます。このとき、次の問いに答えなさい。

（１） さいころを４回投げたところ、Ａ君はＯにもどりました。そのうち１回目は４の目が、４回目は３の目が出ました。このとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。

（２） さいころを３回投げたところ、Ａ君はＥ１にいました。このとき、さいころの目の出方は全部で何通りありますか。

（明治大学付属中野中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

２回目と３回目について、場合分けをします。

・右→左 と移動する場合

４＋□＝■＋３　→　１＋□＝■

よって、

（□、■）＝（２、３）、（４、５）

の２通りがあります。

・左→右 と移動する場合

４＋□＝■＋３　→　１＋□＝■

よって、

（□、■）＝（２、３）、（４、５）

の２通りがあります。

２通り＋２通り＝４通り

答え　４通り

（２）

（１）より、移動する順ではなく、移動する量に着目することが必要とわかります。

Ａ君がＥ１にいるのは、右に移動する量の和が左に移動する量の和よりも１大きいときです。

このことを踏まえながら、場合分けをして調べていきます。

・右へ３回、左へ０回移動する場合

「偶数＋偶数＋偶数＝１ 」はなりませんから、このような移動の仕方はありません。

・右へ２回、左へ１回移動する場合

（２、２、３）→ さいころの目の出方は３通りです。

（２、４、５）→ さいころの目の出方は ３通り×２通り×１通り＝６通り です。

３通り＋６通り＝９通り

・右へ１回、左へ２回移動する場合

左に移動する量の和は「奇数＋奇数＝偶数」です。

右に移動する量の和はそれよりも１大きいので奇数となりますが、右に移動するときの目は偶数なので、このような移動の仕方はありません。

・右へ０回、左へ３回移動する場合

Ａ君はＯよりも左に移動しますから、Ｅ１にいるという条件にあてはまりません。

以上から、目の出方は全部で

０通り＋９通り＋０通り＋０通り＝９通り

です。

答え　９通り

本問は、「移動する量 → 目の出方」の順に考えることがポイントとなる問題で、（１）が（２）のヒントになっています。

２問目は「コイン」の問題です。

【問題】Ａ君とＢ君で、１枚のコインを交互に１回ずつ投げるゲームをします。ゲームは２人のうち、どちらかが２回連続で表が出るまで続けます。コインの表が出たら３点、裏が出たら１点もらえます。Ａ君から投げ始め、Ａ君Ｂ君合わせて９回コインを投げ終えたところで、ゲームは終わりました。このとき、あとの問いに答えなさい。

問１ ゲームが終わったとき、コインの表裏の出方は何通り考えられますか。

問２ ゲーム終了時に、Ｂ君はＡ君よりも得点が高くなる可能性はありますか。解答用紙のある・ないのどちらかを○で囲みなさい。また、ある場合はその例を１つ答え、ない場合はその理由を答えなさい。

（東京都市大学付属中学校　２０２４年　問題５）

【考え方】

問１

Ａ君から投げ始めますから、Ａ君が１回目、３回目、５回目、７回目、９回目に投げ、Ｂ君が２回目、４回目、６回目、８回目に投げます。

そして、９回目に投げ終えたところでゲームが終わりましたから、Ａ君が７回目と９回目に連続して表を出したことになります。

連続して表が出ないということは、表が出る前の回は裏に限られ、裏が出る前の回は表でも裏でもよいということになりますので、２人が投げたコインの表裏の出方は次の表のようになります。

３通り×８通り＝２４通り

答え　２４通り

問２

Ａ君の得点が最小になるのは、１回目と３回目と５回目に裏が出たときです。

３点×２回＋１点×３回＝９点

Ｂ君の得点が最大になるのは、２回目と６回目に表が、４回目と６回目に裏が出たとき、または、その逆順の場合です。

３点×２回＋１点×２回＝８点

ですから、Ｂ君がＡ君よりも得点が高くなることはありません。

こたえ　ない　理由：解説参照

本問の前半は「踏み台解法」の利用、後半は「最大と最小」の問題です。

踏み台解法は「ある場合の数を、その１つ前の場合の数から求める」という大切な考え方です。

踏み台解法を未習の場合や苦手な場合は、次のような樹形図をかいてもよいでしょう。

最後は「すごろく」の問題です。

【問題】ゆきお君とつよし君は、下の図のような、ます目と１から１０までの数が書かれたルーレットを使って、次のようなゲームをしました。

・はじめは２人とも自分のコマを「Ｓ」の位置に置く

・ゆきお君、つよし君の順番でルーレットを回し、それぞれがルーレットに書かれた数だけ自分のコマを進める。ただし、２巡目以降もゆきお君、つよし君の順番でルーレットを回し、止まっている位置からそれぞれルーレットに書かれた数だけ自分のコマを進める

（例）１巡目に７が出た場合はＳ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｇ→Ｄ→Ｃと進み、２巡目に５が出た場合はＣ→Ｂ→Ａ→Ｓ→Ａ→Ｂと進む

・コマが「Ｄ」の位置にちょうど止まった場合は１回休みとなり、次の自分の順番のときに１回だけルーレットを回すことができない

・コマが先に「Ｇ」の位置にちょうど止まった方が勝ちとなり、ゲームは終了とする

次の問いに答えなさい。

１） ゆきお君が２巡目で勝つとき、２人のルーレットの数の出方は全部で何通りありますか。

２） ゆきお君が３巡目で勝つとき、２人のルーレットの数の出方は全部で何通りありますか。

（立教池袋中学校　２０２４年　問題１０）

【考え方】

１）

コマが「Ｇ」の位置に止まるのは、１巡目と２巡目に出た数の和が５または１５のときです。

このとき、１巡目に４、５、６が出ると、「２巡目に勝つ」という条件にあてはまらないことに注意します。

・和が５となるとき

（１巡目、２巡目）＝（１、４）、（２、３）、（３、２） … ３通り

・和が１５となるとき

（１巡目、２巡目）＝（７、８）、（８、７）、（９、６）、（１０、５） … ４通り

ですから、ゆきお君のルーレットの数の出方は

３通り＋４通り＝７通り

です。

つよし君が自分の順番のときにゴールできないルーレットの数の出方は、５以外の９通りです。

７通り×９通り＝６３通り

こたえ　６３通り

（別解）

１巡目に４、５、６以外の数が出てコマがＳ、Ａ、Ｂ、Ｃのいずれかにあるとき、２巡目にルーレットを回してＧの位置にちょうど止まるような数が必ず１通りずつあります。

（１０通り－３通り）×１通り＝７通り　…　ゆきお君のルーレットの数の出方

２）

数の和に着目する解き方もありますが、ここでは１）の別解の考え方を利用することにします。

はじめに、ゆきお君のルーレットの数の出方について考えます。

１巡目のルーレットを回して４、５、６以外の数が出ればコマはＤ、Ｇ以外のます目に進み、そのます目から２巡目にルーレットを回してコマがＤ、Ｇ以外のます目に進む数の出方がそれぞれ７通りあり、さらに３巡目にルーレットを回したときコマがＧの位置にちょうど止まるような数が必ず１通りずつあります。

（例）

また、１巡目のルーレットを回して４または６が出ればコマはＤのます目に進み、２巡目に１回休んだ後、３巡目に１が出ればコマはＧの位置にちょうど止まります。

７通り×７通り×１通り＋２通り×１通り＝５１通り　…　ゆきお君のルーレットの数の出方

次に、つよし君のルーレットの数の出方について考えます。

１巡目のルーレットを回して４、５、６以外の数が出ればコマはＤ、Ｇ以外のます目に進み、そのます目から２巡目にルーレットを回してコマがＧ以外のます目に進む数の出方がそれぞれ９通りあります。

（例）

また、１巡目のルーレットを回して４または６が出ればコマはＤのます目に進み、２巡目は休みとなり、コマはＤにます目にとどまります。

７通り×９通り＋２通り＝６５通り　…　ゆきお君のルーレットの数の出方

ですから、２人のルーレットの数の出方は全部で

５１通り×６５通り＝３３１５通り

です。

こたえ　３３１５通り

本問は、１）だけの正解することを目指すときは、出た目の和に着目する解き方でもよいと思います。

しかし、２）の正解も得たいときは、ゴールする１巡前から考える「踏み台解法」を使えることが望ましいです。

今回は、２０２４年度に男子中の入試で出されたゲームをテーマとする問題をご紹介しました。

樹形図などの書き出しで問題を解くことができるときは、場合分けの仕方や「１つ前の場合の数に着目する」踏み台解法のマスターを目指しましょう。