「第７２６回　男子中の入試問題　場合の数 １」

前回まで、近年に男子中の入試で出された「文章題」について考えました。

今回からは「場合の数」の問題を取り扱っていきます。

１回目のテーマは「並べ方と選び方」です。

では、さっそく問題を見ていきましょう。

１問目は「カードの並べ方」の問題です。

【問題】１、１、２、３、４の５枚のカードから３枚を取り出して並べてできる３けたの整数のうち、小さい方から数えて１５番目の整数を求めなさい。

（世田谷学園中学校　２０２４年　問題１－（５）　問題文一部変更）

【考え方】

３桁の整数を作る問題なので、１００台の整数、２００台の整数、… のように「１００刻み」で調べていきます。

〈１００台の整数〉

１００台の整数を １□□ のように表すと、十の位の□には残った１、２、３、４の４枚のカードから１枚を選ぶ４通りの並べ方があり、一の位の□には百の位と十の位で使った残りの３枚のカードから１枚を選ぶ３通りの並べ方があるので、１００台の整数は

４通り×３通り＝１２通り

あります。

〈２００台の整数〉

１５番目の整数まであと３個なので、書き出していきます。

小さい方から ２１１、２１３、２１４、… と作れますから、小さい方から数えて１５番目の整数は２１４です。

答え　２１４

本問は、数を作るときの基本を確認できる問題です。

樹形図をかいて解いているときは、デジタル図（※俗称です）に換えても解けることをチェックをしましょう。

２問目も「カードの並べ方」の問題です。

【問題】箱の中に５枚のカード１、２、３、４、５があります。箱の中からカードを１枚引いて、そのカードを左から順に並べる操作をくり返し、３枚のカードを並べたところで操作を終えます。ただし、４を並べたときは、その時点で操作を終えます。カードの並べ方は全部で何通りありますか。

（城北中学校　２０２４年　問題２－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

「４を並べたときは、その時点で操作を終えます」から、４のカードを１枚目に引いたとき、４のカードを２枚目に引いたとき、１枚目でも２枚目でも４のカードを引かなかったときの３つの場合に分けて考えます。

〈４のカードを１枚目に引いたとき〉

操作はそこで終わりますから、カードの並べ方は「４」の１通りです。

〈４のカードを２枚目に引いたとき〉

１枚目が「４」以外の４通り、２枚目が「４」の１通りですから、

４通り×１通り＝４通り

の並べ方があります。

〈４のカードを１枚目でも２枚目でも引かなかったとき〉

１枚目が「４」以外の４通り、２枚目が１枚目で引いたカードと「４」以外の３通り、３枚目が１枚目と２枚目で引いたカード以外の３通りですから、

４通り×３通り×３通り＝３６通り

の並べ方があります。

よって、全部で

１通り＋４通り＋３６通り＝４１通り

のカードの並べ方があります。

答え　４１通り

本問は、「場合分けをする」という場合の数の基本を確認できる問題です。

ここでは４のカードがポイントになっていますから、４のカードを何枚目に引くかで場合分けができることを確認します。

最後は「並べ方」と「選び方」が組み合わさった問題です。

【問題】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５つの文字を一列に並べて、それらの間の４か所に＋か×の記号を１つずつ入れます。例えば、５つの文字を左からＢ、Ｅ、Ｄ、Ａ、Ｃの順に並べ、それらの間に×、＋、×、×を入れると

Ｂ×Ｅ＋Ｄ×Ａ×Ｃ　…①

となります。

（１） ５文字の間の４か所に、＋を１個、×を３個入れるとき、文字と記号の並べ方は何通りですか。

（２） ５文字の間の４か所に、＋を２個、×を２個入れるとき、文字と記号の並べ方は何通りですか。

次に、並べたものを式として考えます。かけ算は順序を入れかえても計算した結果は変わらないことから、例えば、

Ｅ×Ｂ＋Ｄ×Ａ×Ｃ　や、

Ｅ×Ｂ＋Ｃ×Ａ×Ｄ　など

は①と同じ式と考え、これらを区別しません。

また、足し算よりかけ算を先に計算すると、たし算の順序を入れかえても計算した結果は変わらないことから、例えば、

Ｄ×Ａ×Ｃ＋Ｂ×Ｅ　や、

Ｃ×Ａ×Ｄ＋Ｅ×Ｂ　など

は①と同じ式と考え、これらを区別しません。

（３） ５文字の間の４か所に、＋を１個、×を３個入れるとき、式は何通りできますか。

（４） ５文字の間の４か所に、＋を２個、×を２個入れるとき、式は何通りできますか。

（海城中学校　２０２５年　問題３）

【考え方】

（１）

はじめに、文字の並べ方を考えます。

５通り×４通り×３通り×２通り×１通り＝１２０通り

次に、「＋」と「×」の入れ方を考えます。

先に「＋」を（ア）～（エ）のどこか１か所に入れると、「×」は残り（点線部分）に入れることになりますから、「＋」と「×」の入れ方は、１通りの文字の並び方（下の図は「ＡＢＣＤＥ」の場合）に対して４通りあります。

よって、全部で

１２０通り×４通り＝４８０通り

です。

答え　４８０通り

（２）

文字の並べ方は（１）と同じ１２０通りです。

「＋」は（ア）～（エ）のどこか２か所に入れますので６通りあり、「×」は残り（点線部分）に入れることになります（＝１通り）から、「＋」と「×」の入れ方は、１通りの文字の並び方に対して

６通り×１通り＝６通り

あります。

よって、全部で

１２０通り×６通り＝７２０通り

です。

答え　７２０通り

※「＋」の入れ方は

４Ｃ２＝４通り×３通り÷２＝６通り

のように、計算で求められると理想的です。

（３）

記号の入れ方で場合分けをします。

〈×が３つ連続する場合〉

記号が ＋、×、×、× の順になるとき、「あ」には５通りの文字の入れ方があり、「い×う×え×お」には残りの４文字をどの順に入れても計算結果が同じになります（＝１通り）ので、

５通り×１通り＝５通り

の式ができます。

記号が ×、×、×、＋ の順になるときも計算結果は同じになるので、×が３つ連続する場合の式は５通りです。

〈×が２つ連続する場合〉

記号が ×、＋、×、× の順になるとき、「あ×い」には５つの文字から２つの文字を選んで入れるので

５Ｃ２＝５通り×４通り÷２＝１０通り

の式ができ、「う×え×お」には残りの３文字をどの順に入れても計算結果が同じになります（＝１通り）ので、

１０通り×１通り＝１０通りの式ができます。

記号が ×、×、＋、× の順になるときも計算結果は同じになるので、×が２つ連続する場合の式は１０通りです。

よって、

５通り＋１０通り＝１５通り

の式ができます。

答え　１５通り

（４）

〈×が２つ連続する場合〉

記号が ＋、＋、×、× の順になるとき、「あ＋い」には５つの文字から２つの文字を選んで入れるので１０通りの式ができ、「う×え×お」には残りの３つの文字ををどの順に入れても計算結果が同じになります（＝１通り）ので、

１０通り×１通り＝１０通り

の式ができます。

記号が ＋、×、×、＋ の順になるときも ×、×、＋、＋ の順になるときも計算結果は同じになるので、×が２つ連続する場合の式は１０通りです。

〈×が連続しない場合〉

記号が ＋、×、＋、× の順になるとき、「あ」には５通りの文字の入れ方があり、「い×う＋え×お」には残りの４つの文字を２つの文字ずつに分けて入れるので３通りの式ができますから、

５通り×３通り＝１５通り

の式ができます。

記号が ×、＋、×、＋ の順になるときも計算結果は同じになるので、×が連続しない場合の式は１５通りです。

よって、

１０通り＋１５通り＝２５通り

の式ができます。

答え　２５通り

本問は、（１）、（２）が順列と組み合わせの基本を、（３）、（４）は場合分けと組み合わせの応用の考え方を確認できる問題です。

パッと見た感じでは難しい問題のように見えますが、小問を（１）、（２）、… と順に解き進めていくと、場合の数の問題でよく練習する「選び方」の問題と同じであることに気づけるようになっています。

今回は、２０２５年度と２０２４年度に男子中の入試で出された「場合の数」の中から、「並べ方と選び方」がテーマの問題をご紹介しました。

樹形図などの書き出しで正解を得られるようになれば、場合分けや計算が利用できる問題も解き、さらなる得点力のアップを目指しましょう。