「第７３２回　女子中の入試問題　数と計算 ４」

前回に引き続き、近年の女子中の入試で出された「数と計算」の問題から「倍数と約数」の分野の問題を取り扱います。

１問目は、倍数の個数の問題です。

【問題】１から２０２４までの２０２４個の整数のうち、４でも７でも割り切れない整数は何個ありますか。

（香蘭女学校中等科　２０２４年　第１回　問題１－⑩　問題文一部変更）

【考え方】

４で割り切れる整数は４の倍数、７で割り切れる整数は７の倍数です。

ですから、４でも７でも割り切れない整数は４の倍数でも７の倍数でもない数です。

２０２４÷４＝５０６　→　４の倍数は５０６個

２０２４÷７＝２８９あまり１　→　７の倍数は２８９個

４と７の最小公倍数は２８ですから、ベン図の「交わり」の部分は２８の倍数です。

２０２４÷２８＝７２あまり８　→　２８の倍数は７２個

５０６個＋２８９個－７２個＝７２３個　…　４または７で割り切れる整数

２０２４個－７２３個＝１３０１個

答え　１３０１個

本問は、倍数の個数の整理方法を確認できる問題です。

解答例ではベン図を用いましたが、４と７の最小公倍数が２８であることから２８個を１組とする整理方法もあります。

２８個１組の中に４でも７でも割り切れない整数は１８個あります。

２０２４÷２８＝７２（組）あまり８（個）

「あまり８」は表の１から８までのことで、その中に４でも７でも割り切れない整数が５個あります。

１８個×７２組＋５個＝１３０１個

２問目は、最小公倍数についての問題です。

【問題】分子が５で分母が整数である数の中で、１/３より大きく３/７より小さい分数の分母をすべて書きなさい。

（東洋英和女学院中学部　２０２５年　Ａ・帰国生　問題４）

【考え方】

条件を不等式で表します。

分数の大小関係を調べるときは、原則として、分母または分子を同じ数にそろえます。

ここでは３つの分数の分子がわかっていますので、分子を１と５と３の最小公倍数の１５にそろえます。

よって、Ａ×３は３５より大きく４５より小さい数とわかります。

Ａ×３＝３５　→　Ａ＝３５÷３＝１１.６…

Ａ×３＝４５　→　Ａ＝４５÷３＝１５

ですから、Ａは１２以上１４以下の整数です。

答え　１２、１３、１４

本問は、最小公倍数を利用した分数の大小関係の考え方を確認できる問題です。

なお、最小公倍数を利用する以外に、次のような考え方もあります。

最後は、約分がテーマの大問形式の問題です。

【問題】８３個の分数

について、次の問いに答えなさい。

（１） 約分すると分母が奇数になる分数は、全部で何個ありますか。

（２） ８３個の分数をすべて加えると、いくつになりますか。

（３） 約分できない分数は、全部で何個ありますか。

（４） 約分できない分数をすべて加えると、いくつになりますか。

（立教女学院中学校　２０２４年　問題３）

【考え方】

（１）

分母の８４を素因数分解すると

８４＝２×２×３×７

となりますから、約分して分母が奇数になったときの分母は３または７または２１です。

約分して分母が３になる場合は分数を

８４÷３＝２８

で約分していますから、約分する前の分子が２８の倍数の分数です。

同様に考えると、分母が７になる分数の分子は１２の倍数、分母が２１になる分数の分子は４の倍数です。

８３÷４＝２０あまり３　→　８３以下の４の倍数は２０個あります。

答え　２０個

（２）

分子は初項が１、末項が８３。公差が１の等差数列ですから、分子の和は

（１＋８３）×８３÷２

という計算で求められます。

答え　８３/２（４１.５）

（３）

分母が

８４＝２×２×３×７

ですから、分子が２の倍数または３の倍数または７の倍数の分数は約分ができます。

「割り切れるように分子を８４以下とする」という計算の工夫ができます。

８４÷２＝４２（個）…　２の倍数の個数

８４÷３＝２８（個）…　３の倍数の個数

８４÷７＝１２（個）…　７の倍数の個数

８４÷６＝１４（個）…　６の倍数の個数

８４÷１４＝６（個）…　１４の倍数の個数

８４÷２１＝４（個）…　２１の倍数の個数

８４÷４２＝２（個）…　４２の倍数の個数

（４２個＋２８個＋１２個）－（１４個＋６個＋４個）＋２個＝６０個

８４を含む白色部分（２の倍数または３の倍数または７の倍数）が６０個ですから、約分できない分数は

８４個－６０個＝２４個

です。

答え　２４個

（４）

１以下の既約分数（約分できない分数）の和を求めるときは、既約分数を２個１組にするという工夫ができます。

両端から内側に向かって２個１組にしていくと、どの組の和も１です。

２４個÷２個＝１２組

１×１２組＝１２

答え　１２

本問は、分数の約分と倍数の関係を確認できる問題です。

特に、「約分すると分子が１になる（分子が分母の約数）」と（３）の「約分ができる」の区別はとても大切です。

なお、（１）では、「分母の ２×２ がなくなればよい。だから、分子が４の倍数の分数」のように考えられると理想的です。

今回は、２０２４年度と２０２５年度に女子中の入試で出された「倍数の個数」、「分数と最小公倍数」、「約分と倍数」がテーマの問題をご紹介しました。

習い終えているときは、基本レベルの定着度を１問目と２問目を解いて確認しましょう。

３問目で用いる知識や解法はそれらよりは難しいものですが、問題としては定番ですから、もし間違えた問題があれば、時間を作ってできるだけ早めに修正ができるといいですね。