「第７３３回　女子中の入試問題　数と計算 ５」

これまで、近年の女子中の入試で出された「数と計算」の問題について考えています。

今回は「数の規則性」の問題について見ていきます。

１問目は、かけ算と規則性の問題です。

【問題】２０２５を２０２５個かけあわせた数の十の位の数は何ですか。

（品川女子学院中等部　算数１教科　２０２５年　問題１　問題文一部変更）

【考え方】

規則性の問題は、「規則がみつかるまで調べる」ことが解き方の基本です。

２数の積の十の位の数を調べますから、かけあわせる数の下２桁に着目します。

ですから、２０２５を何回かけても十の位の数は２とわかります。

答え　２

本問は、かけあわせる２数と積の決められた位の数の関係を確認できる問題です。

２０２５をかけあわせて解いているときは、工夫ができることを確認しましょう。

２問目は、繰り返しの問題です。

【問題】３種類の数字０、２、４を下のように、ある規則にしたがって左から順に並べます。

２、０、２、４、０、２、０、２、４、０、２、０、２、４、０、…

このとき、次の問いに答えなさい。

（１） はじめから数えて５３４番目の数字を答えなさい。

（２） 全部で２０２４個の数字が並んでいるとき、その中に０は何個あるかを求めなさい。

（３） ０、２という数字の並びが２１１回あり、一番右の数字が４であるとき、並んでいる全数字の真ん中の数字を答えなさい。

（白百合学園中学校　２０２４年　問題２）

【考え方】

（１）

数字の列は「２、０、２、４、０」の５個１組を繰り返しています。

５３４個÷５個＝１０６組あまり４個

よって、５３４番目の数字は１０７組目の左から４番目の数字です。

答え　４

（２）

１組の中に「０」は２個あります。

２０２４個÷５個＝４０４組あまり４個

２０２４番目の数は４０５組目の左から４番目の数ですから、そこまでに「０」は

２個×４０４組＋１個＝８０９個

あります。

答え　８０９個

（３）

「２、０、２、４、０」の組が１組あるとき「０、２」という並びが１回、２組あるとき３回、３組あるとき５回、…となっていますから、「２、０、２、４、０」の組が□組あるとき「０、２」という並びは（□×２－１）回あるとわかります。

□×２－１＝２１１　→　□＝（２１１＋１）÷２＝１０６（組）

ですから、並んでいる数字は全部で

５個×１０６組－１個＝５２９個

です。

５２９個÷２＝２６４個あまり１個

よって、真ん中の数字は左から２６５番目の数字です。

２６５個÷５個＝５３組　→　割り切れましたので、２６５番目の数字は５３組目の最後の数字の０です。

答え　０

本問は「繰り返し」の基本を確認できる問題です。

繰り返しはカレンダーのように整理する（７日間を横１列に書く）ことが基本ですが、（３）のように組と組とにまたがる問題では横にのばして整理すると数えやすいでしょう。

３問目は、余りの規則性がテーマの問題です。

【問題】２をＡ個並べてできるＡけたの数を、７で割ったときの余りを《Ａ》で表します。例えば、２２２２を７で割ったときの余りは３なので《４》＝３です。

（１） 《８》の値を答えましょう。

（２） 《２９》＋《３０》＋…＋《１０６９》＋《１０７０》を計算しましょう。

（雙葉中学校　２０２５年　問題２）

【考え方】

（１）

２２２２２２２２÷７ を計算してもよいのですが、規則を見つけるために《１》から順に調べてみます。

２÷７＝０あまり２　→　《１》＝２

２２÷７＝３あまり１　→　《２》＝１

次は《３》ですが、《２》の「２２÷７」と並べて筆算を書いてみます。

２２２を７で割ったときの余りは、《２》の「１」が十の位の数、「２」が一の位の数である２桁の整数「１２」を７で割ったときの余りになることがわかります。

１２÷７＝１あまり５　→　《３》＝５

《４》も筆算をしてみます。

先ほどと同様に、２２２２を７で割ったときの余りは、《３》の「５」が十の位の数、「２」が一の位の数である２桁の整数「５２」を７で割ったときの余りになることがわかります。

５２÷７＝７あまり３　→　《４》＝３

以上から、

《５》は ３２÷７＝４あまり４ より《５》＝４

《６》は ４２÷７＝６ より《６》＝０となり

次の《７》は ０２÷７ つまり ２÷７ の計算をしますから、《１》と同じ２であることがわかります。

よって、《８》＝１です。

答え　１

（２）

（１）で６個１組を繰り返すことがわかりました。

２＋１＋５＋３＋４＋０＝１５　…　１組の和

《２９》＋《３０》＋…＋《１０６９》＋《１０７０》 は、次のような工夫をすることができます。

２８÷６＝４組あまり４

《２８》は５組目の４番目なので（ア）は

１５×４＋２＋１＋５＋３

です。

１０７０÷６＝１７８組あまり２

《１０７０》は１７９組目の２番目なので（イ）は

１５×１７８＋２＋１

です。

（１５×１７８＋２＋１）－（１５×４＋２＋１＋５＋３）

＝１５×１７４－（５＋３）

＝２６０２

答え　２６０２

本問は、余りの規則性を確認できる問題です。

（１）の正解だけを目指す場合は ２２２２２２２２÷７＝３１７４６０３あまり１ のように計算してもＯＫです。

しかし、（２）で、「１０７０桁」というとても書き切れない数について求めることから、「規則性があるはずだ。《１》から順に、計算が可能な小さいの所で調べてみよう」のように考えられると理想的です。

最後も、余りに関する問題です。

【問題】

次の問いに答えなさい。

（１） ３を８個並べた数３３３３３３３３を３７で割った余りを求めなさい。

（２） ９を２０２４個並べた整数を３７で割った余りを求めなさい。

（鷗友学園女子中学校　第２回　２０２５年　問題１　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

実際に割り算をしても構いませんが、「３７×３＝１１１」を利用した工夫ができます。

答え　３３

（２）

９９９＝１１１×９＝３７×３×９　→　９９９は３７で割り切れる。

ですから、（１）で ３３３３３３３３ を ３３３０００００ と ３３３００ と ３３ に分解した、言いかえると ３３３／３３３／３３ のように上から３桁ごとに区切ったように、９９９９…９ も上から３桁ごとに区切ればよいとわかります。

２０２４桁÷３桁＝６７４区切りあまり２桁

上２０２２桁を３桁ごとに区切った部分はどれも３７で割り切れ、残った下２桁の９９は３７で割ると２５余りますから、９を２０２４個並べた整数を３７で割った余りは２５です。

答え　２５

本問は、３７の倍数の利用を確認できる問題です。

「３７×３＝１１１」を覚えていると、このような問題で役に立ちます。

今回は、２０２５年度と２０２４年度に女子中の入試で出された「数の規則性」の問題をご紹介しました。

１問目のように規則がみつかるまで順に調べること、２問目のように「組」と「余り」を正確に数えられることは、「数の規則性」の問題を解くときに大切なポイントです。

４問目の「３７の倍数」はかなり難しい問題ですが、３問目と同様に「数を分解する」という考え方は、「数の規則性」で正解数を増やしていくのに役立ちます。

数を分解することがが苦手なようでしたら、第７２９回や第７３０回でご紹介しました「工夫のできる計算問題」等を利用して、計算をするときに工夫を考えることから始めてみましょう。