第742回 女子中の入試問題 速さ 5
「第７４２回 女子中の入試問題 速さ ５」
前回は、近年の女子中の入試で出された「速さのグラフ」の問題について考えました。
今回は「通過算」、「流水算」、「時計算」の問題を見ていきます。
１問目は「通過算」の基本問題です。
【問題】長さが２００ｍの列車と３００ｍの列車がそれぞれ一定の速さで動いています。２つの列車が出会ってからすれ違いきるまでに２０秒かかり、長さが３００ｍの列車が２００ｍの列車に追いついてから追いこすまでに１分４０秒かかりました。長さが２００ｍの列車の速さは秒速何ｍか求めなさい。
（頌栄女子学院中学校 第１回 ２０２５年 問題１－（５））
【考え方】
通過算は、列車の１点に着目して条件を絵（線分図）に表すと考えやすいです。
このとき、２つの列車がすれちがい終えたときに接している点や追い越し終えたときに接している点に着目すると、列車の動きを表す→について考えやすくなります。
１分４０秒＝１００秒
「すれ違う」図からは、２つの列車が２０秒間に合わせて
３００ｍ＋２００ｍ＝５００ｍ
進むことがわかります。
５００ｍ÷２０秒＝２５ｍ/秒 … ２つの列車の速さの和
また、「追い越す」図から、長さが３００ｍの列車の方が２００ｍの列車よりも１００秒間で
３００ｍ＋２００ｍ＝５００ｍ
長く進むことがわかります。
５００ｍ÷１００秒＝５ｍ/秒 … ２つの列車の速さの差
和差算を利用すると、長さが２００ｍの列車の速さは
（２５ｍ/秒－５ｍ/秒）÷２＝１０ｍ/秒
と求められます。
答え 秒速１０ｍ
本問は、通過算の基本を確認できる問題です。
通過算は、図をかくことで考えやすくなります。
なお、解答例では２つの列車をが動く図をかきましたが、「遅い列車の動きを止める」図で考えることもできます。
２問目は「流水算」の基本問題です。
【問題】ある川沿いの上流にＰ町、下流にＱ町があり、その間を船Ａが往復します。船Ａは、午前９時３０分にＰ町を出発し、午前１１時３０分にＱ町に着きました。その後午後１時にＱ町を出発し、Ｐ町に向かいました。船Ａの静水での速さを時速１６㎞、川の流れの速さを時速４㎞、船Ａの静水での速さと川の流れの速さはそれぞれ一定とします。ただし、船の長さは考えないものとします。
（１） Ｐ町とＱ町は、何㎞はなれていますか。
（２） 午後１時に出発した船ＡがＰ町に着くのは、午後何時何分ですか。
（３） 船Ｂが午後２時にＰ町を出発して午後４時３０分にＱ町に着きました。船Ａが午後１時にＱ町を出発したとき、Ｐ町から何㎞はなれたところで船Ｂとすれちがいますか。ただし、船Ｂの静水での速さは一定とします。
（白百合学園中学校 ２０２５年 問題２）
【考え方】
（１）
はじめに、船Ａの速さ、Ｐ町とＱ町の間を往復する様子をそれぞれ線分図で表します。
速さの線分図から
１６㎞/時－４㎞/時＝１２㎞/時 … 船Ａの上りの速さ
１６㎞/時＋４㎞/時＝２０㎞/時 … 船Ａの下りの速さ
とわかります。
１１時３０分－９時３０分＝２時間 … 船ＡがＰ町からＱ町まで下る時間
２０㎞/時×２時間＝４０㎞
答え ４０㎞
（２）
４０㎞÷１２㎞/時＝１０/３時間＝３時間２０分
１時＋３時間２０分＝４時２０分
答え 午後４時２０分
（３）
２つの船が動く様子を線分図で表します。
左上の図より船Ｂが下る速さは
４０㎞÷（４時３０分－２時）＝１６㎞/時
とわかります。
また、右上の図で船ＢがＰ町を午後２時に出発するとき、船ＡはＱ町から
１２㎞/時×（２時－１時）＝１２㎞
離れたＲ地点にあります。
船ＢがＰ町からすれ違うＳ地点までにかかる時間と船ＡがＲ地点からＳ地点までにかかる時間は同じ（●～○）ですから、速さの比と距離の比は等しい関係です。
速さの比 （船Ｂが下る速さ）：（船Ａが上る速さ）＝１６㎞/時：１２㎞＝４：３
↓
距離の比 （ＰＳ間）：（ＲＳ間）＝４：３
４０㎞－１２㎞＝２８㎞ … ＰＲ間の距離
④㎞＋③㎞＝２８㎞ → ①㎞＝２８㎞÷（４＋３）＝４㎞
④㎞＝４㎞×４＝１６㎞
答え １６㎞
本問は、流水算の基本を確認できる問題です。
流水算は、上りの速さ、下りの速さ、静水時の速さ、流速の関係を表す線分図と船が動く様子を表す線分図をかくと考えやすくなります。
なお、（２）では「速さと比」の利用しましたが、２つの船がすれ違う時刻を求める方法もあります。
２時＋（４０㎞－１２㎞）÷（１６㎞/時＋１２㎞/時）＝３時 … すれ違う時刻
１６㎞/時×（３時－２時）＝１６㎞
最後は「時計算」の基本問題です。
【問題】３時から４時までの間に、時計の長針と短針のつくる角度が６０°になるのは、３時何分と何分ですか。早い方から順に答えなさい。
（立教女学院中学校 ２０２５年 問題１－（６） 問題文一部変更）
【考え方】
時計算は、はじめに□時００分の図をかくことがポイントです。
このとき、短針を先にかくと、図はかきやすくなります。
本問では、短針は３時ちょうどに「３」を指していて、その後は「３」と「４」の間にありますから、２つの針がつくる角の大きさがはじめて６０度になったときの長針は「１」と「２」の間にあり、２回目のときは「５」と「６」の間にあることがわかります。
長針と短針が３時ちょうどから動いた角の大きさに着目します。
左上図より、２つの針がつくる角の大きさが１回目に６０度になったとき
（長針が動いた角の大きさ）＋６０度＝９０度＋（短針が動いた角の大きさ）
↓
（長針が動いた角の大きさ）－（短針が動いた角の大きさ）＝３０度
長針が動く速さは分速６度、短針が動く速さは分速０.５度です。
３０度÷（６度/分－０.５度/分）＝６０/１１分 → １回目の時刻は３時５ ５/１１分です。
右上図より、２つの針がつくる角の大きさが２回目に６０度になったとき
（長針が動いた角の大きさ）＝９０度＋（短針が動いた角の大きさ）＋６０度
↓
（長針が動いた角の大きさ）－（短針が動いた角の大きさ）＝１５０度
１５０度÷（６度/分－０.５度/分）＝３００/１１分 → ２回目の時刻は３時２７ ３/１１分です。
答え （順に）５ ５/１１分、２７ ３/１１分
本問は、時計算の基本を確認できる問題です。
時計算は、はじめに□時００分の図をかくと考えやすくなります。
なお、解答例の他に、短針を止めた図をかく解き方もあります。
今回は、２０２５年度に女子中で出された「通過算」、「流水算」、「時計算」の問題をご紹介しました。
３問とも基本レベルの問題ですので、これらを用いて図のかき方、図の読み取り方、解法知識などの確認をしましょう。
通過算や時計算では、条件をそのまま表す場合と「遅い方の動きを止める」場合の２通りの図のかき方をご紹介していますが、どちらか一方を利用できるようになれば、残りの方にもチャレンジし、どちらの解き方も使えるようになれると理想的です。
