第178回　「場合の数　4」





灘中（SAPIX　2015年度入試　合格率80％偏差値68）




今回は「場合の数」の苦手克服の第4回、「特殊な解き方」です。




この特殊な解き方は、第175回にご紹介した「カタラン数」のように、
「他の問題には使えないけれど、ある問題を解くときには便利」
というものです。


いいかえると、
ここまでにご紹介した「樹形図」「和と積の法則」「場合分け」とちがい、
汎用性が低い解き方ということです。





2014年　灘中　入試問題　算数2日目


大問3
2辺の長さが10cm，20cmの長方形のタイルがたくさんあります。
これらのタイルで長方形の壁をすき間がないようにしきつめます。
例えば，縦30cm，横20cmの壁の場合，タイルのしきつめ方は





のように全部で3通りあります。

（1）縦30cm，横40cmの壁の場合，タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。

（2）縦30cm，横60cmの壁の場合，タイルのしきつめ方は全部で何通りありますか。








問題集に掲載されている




という問題に似ていますね。


上記の例題は「規則性を利用して表で解く」という解き方です。

例えば□＝50の場合を求めるのであれば、
□＝30の長方形に20cm×20cmの正方形を1個つぎたす場合（→）と、
□＝40cmの長方形に20cm×10cmの長方形を1個つぎたす場合（→）に
分けて求めます。


つまり





なので、□＝50の場合は　3＋5＝8（通り）　です。


「合計」だけを見れば、フィボナッチ数列になってます。




2014年度　灘中の入試問題もこれと同じように解けそうなのですが、
たてが30cmになっているため、一筋縄ではいかない問題になっています。


（1）問題にあった横20cmの3つの図





に、あと20cmつぎたす場合を考えると、3通り×3通り＝9通り　あります。






それ以外の場合を考えると





の2通りがありますから、全部で11通りです。



この（1）の考え方が（2）に使えないか、
考えながら（2）を解いてみましょう。


（1）の11通りに20cmをつぎたす方法は、






11通り×3通り＝33通り　です。


また、問題文の3つの図に40cmをつぎたす方法は、





3通り×2通り＝6通り　です。


ここで抜けているのが、30cmの図に30cmをつぎたす場合です。




上図の×は、
「20cmをつぎたす」場合、「40cmをつぎたす」場合と
重複していますから、2通りだけです。


よく見ると、境界が偶数cmになる並べ方は、
「20cmをつぎたす」、「40cmをつぎたす」と重なりますから、
重複しない場合は下の図のように
奇数cmのところにある並べ方だとわかります。






これらのことから、33通り＋6通り＋2通り＝41通り　が答えとわかります。


例題は規則性が見つけやすく、
灘中の入試問題は「重複」させないための工夫が必要などですが、
考え方としては「つぎたす」が共通しています。


特殊な問題に用いる特殊な解き方は問題ごとに異なりますから、
覚えるのが少し大変ですし、
覚えた解き方が使える問題が入試に出るとは限りません。


解き方を覚えること、
共通する考え方を理解することの両方が、
特殊な問題を解けるようになるために大切なことだと思います。