「第７５０回　女子中の入試問題　立体図形 ２」

前回から、２０２５年度に女子中の入試で出された「立体図形」の問題を取り扱っています。

今回は「展開図」と「回転体」の問題を見ていきます。

１問目は「展開図の作図」に関する問題です。

【問題】次の図に四角形を１つかき加えると、ある立体の展開図になります。四角形のかき加え方は４通り考えられます。解答用紙の図に、四角形をかき加えて４通りの展開図を完成させなさい。

（東京女学館中学校　第２回入試　２０２５年　問題２－（５））

【考え方】

長方形と台形の図に「四角形を１つかき加える」ので、この立体は四角柱であると予測できます。

さらに、□角柱の側面は長方形や正方形、底面は２つの合同な□角形ですから、問題図に台形を１つかき加えてできる、台形を底面とする四角柱と考えられます。

立体を切り開くと、展開図を作ることができます。

ですから、４通りある展開図のうちの１通りは、四角形ＢＦＧＣの辺ＦＧとくっつくように台形ＦＥＨＧをかき加えた図です。

２通り目の展開図は、かき加えた台形ＦＥＨＧの辺ＦＥと四角形ＡＥＦＢの辺ＦＥがくっつくように、台形を点Ｆを中心に時計回りに９０度回転させて作ることができます。

さらに、ＥＨが重なるように台形を９０度回転させると、３通り目の展開図になります。

４通り目の展開図は、１通り目の展開図の台形をＨＧが重なるように回転、移動させて作ることができます。

答え　（解説参照）

本問は、展開図のかき方を確認できる問題です。

かいた見取り図の頂点に記号をつけるとそれぞれの面の位置関係がはっきりするので、展開図を作図しやすくなります。

なお、解答例のように「回転させる」と考えずに、見取り図をもとにかき加える台形の位置を考えることもできます。

２問目は「正方形を回転させて作る立体（回転体）の体積」の問題です。

【問題】下の図のような■にぬられた、１辺１㎝の正方形を５個組み合わせた図形があります。直線ℓを軸として１回転させたときにできる立体の体積は何㎤ですか。円周率は３.１４とします。

（国府台女子学院中学部　第１回入試　２０２５年　問題４－（３）　問題文一部変更）

【考え方】

回転体は、回転させる図形を回転の軸と対称な位置にかき、対応する点をなめらかな曲線で結んで見取り図をかくことができます。

できる立体は高さが１㎝の円柱が２つと、高さが１㎝で穴のあいた円柱３つが集まったもので、次の図のように組み合わせても体積は変わりません。

３㎝×３㎝×３.１４×１㎝＋２㎝×２㎝×３.１４×１㎝＝４０.８２㎤

答え　４０.８２㎤

本問は、回転体の体積を求める基本レベルの問題です。

正解できないときは、見取り図をかく、体積の求め方を工夫するなどができることを確認しましょう。

３問目は「台形を回転させて作る立体（回転体）の体積」の問題です。

【問題】図の台形を、１２㎝の辺のまわりに１回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。必要ならば、「（角すい、円すいの体積）＝（底面積）×（高さ）÷３」を、また、円周率は３.１４を用いなさい。

（山脇学園中学校　Ｃ　２０２５年　問題１－（９）　問題文一部変更）

【考え方】

できる立体の見取り図をかくと、次のようになります。

見取り図から、できる立体は２つの円すいと１つの円柱が集まったものとわかります。

前問と同じように立体を「輪切り」にし、真ん中にある円柱と下側の円すいの位置を入れかえても、体積は変化しません。

５㎝×５㎝×３.１４×□㎝÷３＋５㎝×５㎝×３.１４×■㎝÷３

＝５㎝×５㎝×３.１４×（□㎝＋■㎝）÷３

＝５㎝×５㎝×３.１４×（１２㎝－３㎝）÷３

＝５㎝×５㎝×３.１４×９㎝÷３

＝７５㎤×３.１４　…　２つの円すい体積の和

５㎝×５㎝×３.１４×３㎝＝７５㎤×３.１４　…　円柱の体積

７５㎤×３.１４＋７５㎤×３.１４＝４７１㎤

答え　４７１㎤

本問は、分配のきまりを利用した体積の求め方を確認できる問題です。

なお、円すいの体積が、底面積と高さが同じ円柱の体積の１/３であることから、２つの円すいを１つの円すいに「等積変形（体積）」することもできます。

最後は、「回転の軸が回転させる図形の内部を通る」問題です。

【問題】下の図のような平行四辺形を、直線ℓの周りに１回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。円周率が必要な場合には３.１４として計算しなさい。

（富士見中学校　第１回　２０２５年　問題１－（８）　問題文一部変更）

【考え方】

これまでと同じように、回転させる図形を回転の軸と対称な位置もかき、対応する点をなめらかな曲線で結んで、見取り図を作ります。

できる立体を輪切りにすると、２つの合同な円すい台に分けられます。

円すい台の体積は、大小の相似な円すいの体積の差として求められます。

赤色の三角形の相似比が

６㎝：３㎝＝２：１

ですから、

４㎝：□㎝＝２：１　→　□㎝＝４㎝×１÷２＝２㎝

です。

４㎝×４㎝×３.１４×６㎝÷３＝３２㎤×３.１４　…　円すい（大）の体積

２㎝×２㎝×３.１４×３㎝÷３＝４㎤×３.１４　…　円すい（小）の体積

３２㎤×３.１４－４㎤×３.１４＝２８㎤×３.１４＝８７.９２㎤　…　円すい台の体積（１つ分）

８７.９２㎤×２＝１７５.８４㎤

答え　１７５.８４㎤

本問は、円すい台の体積の求め方を確認できる問題です。

もし、正解できないようでしたら、見取り図をかけること、立体を「輪切り」にできること、計算を正確にできることを確認しましょう。

なお、三角形（赤色）の相似比が２：１であることから、体積比が（２×２×２）：（１×１×１）＝８：１となることを利用して、

２㎝×２㎝×３.１４×３㎝÷３×（８－１）＝２８㎤×３.１４＝８７.９２㎤

のように計算することもできます。

今回は、２０２５年度に女子中の入試で出された「展開図」と「回転体」の問題をご紹介しました。

どの問題も基本の考え方と正確な計算で解く問題です。

間違える問題があれば、作図を含めた考え方と計算のチェック、修正をしましょう。