「第７６３回　共学中の入試問題　数の性質 ４」

ここまで、近年に共学中の入試で出された「数の性質」の問題を取り扱っています。

今回は、前回に引き続き「数の規則性」の中から、数表の問題を見ていきます。

１問目は、三角形タイプの数表の問題です。

【問題】下の図のように、ある規則にしたがって数が並んでいます。

次の①、②に答えなさい。

① １５段目の一番右にある数を求めなさい。

② １０００は何段目の左から何番目にありますか。

（早稲田実業中等部　２０２５年　問題２－（１））

【考え方】

①

１から整数が順に、奇数段目は右から左へ、偶数段目は左から右に向かって並んでいますので、１５段目の一番右にある数は１５段目の中で一番小さい数です。

１段目から１４段目までに数が全部で

１個＋２個＋３個＋…＋１４個

＝（１個＋１４個）×１４÷２

＝１０５個

並んでいますから ☆＝１０５ となり、１５段目の一番右にある数は１０６個目の整数である１０６です。

答え　１０６

②

１段目から□段目までに並んでいる数の個数は

（１個＋□個）×□段÷２

で求められます。

（１＋□）×□÷２＝１０００

とすると

（１＋□）×□＝２０００

となりますので、積が２０００に近い隣り合う２つの整数の組を探します。

４５×４４＝１９８０

４６×４５＝２０７０

より、４４段目までに

（１個＋４４個）×４４÷２＝１９８０÷２＝９９０個

の数が並んでいるとわかります。

よって、１０００個目の整数である１０００は４５段目の小さい方から

１０００－９９０＝１０個目

の数です。

４５段目は奇数段目なので数が右から左に並んでいます。

よって、４５段目の右から１０番目にある１０００は、４５段目の左から

４５個－（１０個－１個）＝３６番目

にあります。

答え　４５段目の左から３６番目

本問は、「三角形タイプ」の数表の基本問題です。各段の一番大きい数が「三角数」であることを利用して、正解を目指しましょう。

２問目は、正方形タイプの数表の問題です。

【問題】下の表のように、奇数を１から順にある規則にしたがってマス目に入れます。マス目に入れた奇数の場所を列と行を使って表します。例えば、１１は２行３列の数字です。

（１） １行６列の数字は何ですか。

（２） １０行１０列の数字は何ですか。

（３） ７５１は何行何列の数字ですか。

（開智日本橋学園中学校　第１回　２０２５年　問題３）

【考え方】

（１）

１に①、３に②、５に③、… のように、マス目に入れた奇数に番号（丸囲みの数字）をつけます。

すると、１行１列に①、２行１列に④、３行１列に⑨、４行１列に⑯と、「番号」が「行」の数の平方数になっています。

また、奇数は「正方形（下図の赤枠）」を作るようにマス目に入れられますから、１行６列の数字は５行１列（下の図の☆）の次にマス目に入れる奇数です。

５行１列の奇数につけられる番号は行の数の平方数の

５×５＝２５

ですから、☆は１から数えて２５番目の奇数である

２×２５－１＝４９

です。

よって、その次にマス目に入れる１行６列の奇数は５１です。

答え　５１

（２）

１０行１０列の奇数は１行１０列の奇数（下の図の□）から数えて１０番目の数です。

１行１０列の奇数（□）は９行１列の奇数（下の図の■）の次にマス目に入れる数なので、１から数えて

９×９＋１＝８２番目

の奇数です。

よって、１０行１０列の数字は１から数えて

８２番目＋（１０行目－１行目）＝９１番目

の奇数である

２×９１－１＝１８１

です。

答え　１８１

（３）

７５１は１から数えて

（７５１＋１）÷２＝３７６番目

の奇数です。

３７６に近い平方数を探すと、

１９×１９＝３６１

２０×２０＝４００

なので、３７６以下で３７６に最も近い平方数は３６１とわかります。

１から数えて３６１番目の奇数（上の図の□）は１９行１列の数ですから、その奇数の

３７６番目－３６１番目＝１５個

あとのマス目に入れる７５１は１５行目にあります。

です。

答え　１５行２０列

本問は、「正方形タイプ」の数表の基本問題です。

正解できないようでしたら、書き込む数字に「番号」をつけること、正方形タイプは「平方数」番目に着目することを確認しましょう。

３問目も、正方形タイプの数表の問題です。

【問題】右の図のように、ます目のある大きな紙に、ある規則にしたがって数を記入していきます。また、上から○行目の左から△列目に記入する数を《○、△》と表すことにします。例えば、《３、４》＝１４、《４、２》＝１１です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１） 次の□にあてはまる数を求めなさい。

《２、１２》＝□

（２） 次の［ア］、［イ］にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

《［ア］、［イ］》＝２０３０

（東邦大学付属東邦中学校　前期　２０２５年　問題３　問題文一部変更）

【考え方】

（１）

１から整数が順に正方形を作るように並ぶ「正方形タイプ」の数表は、記入する数と番号が同じです。

そこで、記入する数のうちの平方数の位置に着目することにします。

１＝１×１＝《１、１》

４＝２×２＝《１、２》

９＝３×３＝《３、１》

１６＝４×４＝《１、４》

のように、奇数□の平方数は《□、１》に、偶数■の平方数は《１、■》にあります。

また、《２、１２》は

《１２、１》→《１２、２》→ … →《１２、１２》→ … →《２、１２》→《１、１２》

の順に記入されます。

《１、１２》は１２の平方数である

１２×１２＝１４４（上の図の★）

ですから

《２、１２》＝１４４－１＝１４３

です。

答え　１４３

（２）

２０３０に近い平方数を探します。

４５×４５＝２０２５

４６×４６＝２１１６

より、２０３０は２０２５の５個あとに記入される数です。

２０２５＝４５×４５＝《４５、１》

なので、２０３０＝《４６、５》です。

答え　ア　４６、　イ　５

本問も、「正方形タイプ」の数表の問題です。

もし、間違えるようでしたら、平方数に着目して一部を省略した数表を書き、直しをしましょう。

今回は、２０２５年度に共学中で出された数表の問題をご紹介しました。

数表の問題が前回の数列の問題よりも難しいと感じるようでしたら、等差数列の公式を利用できる、番号をつける、一部を省略した表を書く、三角数や平方数に着目するなどができることを確認しながら、少しずつ正解数を増やしていきましょう。